电动力学第二章郭硕鸿第三版 投稿:孙螗螘

第二章 静 电 场静电场:静止电荷或电荷分布不随时间变化产生的电场一.主要内容:应用电磁场基本理论解决最简单的问题:电荷静止或电荷分布不随时间变化,产生的场不随时间变化的静电场问题。本章研究的主要问题是:在给定自由电荷分布及介质和导体分布的情况下如何…

第四章 电磁波的传播电磁波:随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场,电磁场在空间互相激发,在空间以波动的形式存在,就是电磁波主要内容:研究电磁场在空间存在一定介质和导体的情况下的波动情况;在真空与介质,介质与介质,介质与导体的分界面上,电磁波会产生反射…

第五章 电磁波的辐射主要内容:本章讨论高频交变电流辐射的电磁场的规律知识体系:tEA)B0(J0t BA,EtE0021A…

第二章 静 电 场

静电场:静止电荷或电荷分布不随时间变化产生的电场

一.主要内容:应用电磁场基本理论解决最简单的问题:电荷静止或电

荷分布不随时间变化,产生的场不随时间变化的静电场问题。

本章研究的主要问题是:在给定自由电荷分布及介质和导体分布的情况下如何求解静电场。由于静电场的基本方程是矢量方程,求解很难,并不直接求解静电场的场强,而是通过静电场的标势来求解。

首先根据静电场满足的麦克斯韦方程,引入标势,讨论其满足的微分方程和边值关系。在后面几节中陆续研究求解:分离变量法、镜像法和格林函数法。最后讨论局部范围内的电荷分布所激发的电势在远处的展开式。

知 识 体 系:

1.静电场的微分方程:E0

引入电势:E D  1S2S

21

 2 nD2D1 1

nSn

11

静电场的能量:WEDdV WdV

2



边值关系:n

E2E10





2





S

2

V

2.静电边值问题的构成:

2

——微分方程 1

1S2S



1 2 21

nSnS



或S——边界条件(由唯一性定理给出) nS

3.静电边值问题的基本解法: (1)镜像法 (2)分离变量法

条件:电势满足拉普拉斯方程:20 (3)电多极矩

(4) 格林函数法

二.内容提要:

1.静电场的电势及其微分方程: (1)电势和电势梯度

因为静电场为无旋场,即E0,所以可以引入标量函数,引入后

E

电势差:空间某点电势无物理意义,但两点间电势差有意义

选空间有限两点PQ

QP

Q

P

Edl

参考点:

(1)电荷分布在有限区域,通常选无穷远为电势参考点 0

P

(Q)

P

Edl

(2)电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点,否则积分将无穷大。 电荷分布在有限区域时的几种情况的电势 (1) 真空中点电荷

(P)

P

Qr

3

40r

dl

Q40r

Q

无限大均匀线性介质中点电荷 : 

n

4r

(2) 电荷组 : (P)

i1

Qi40ri

(3) 连续分布电荷:无穷远处为参考点

(x)dV

40r

(P)

V

(2)电势满足的微分方程和边值关系

泊松方程:2



1 其中仅为自由电荷分布,适用于均匀各向同性线性介质。 ○

2对0的区域:电势满足拉普拉斯方程:20 ○边值关系

A.两介质界面上边值关系

1S2S

2112

nSn



S

(S为分界面)

(n 由1→2)

B.导体与介质界面上的边值关系

const.



n

S

En





n

S

Q

S

n

S

dS

dS

S

C.导体与导体界面上的边值关系

1S2S

2112

nnS

S

其中1,2 是导体的电导率 (3)静电场的能量

W

1

2



EDdV

1

dV

用电势表示: W

1

2

V

1不是静电场的能量密度; 是自由电荷密度,而则是空间所有电注意:○

2

荷的电势

2 W○

12

V

dV只适用于静电场。

2.唯一性定理: A.均匀单一介质

2

满足当区域V内自由电荷分布(x)已知,



,若V边界上S已知,

或V边界上

n

S

已知,则V内场(静电场)唯一确定。

B. 均匀单一介质中有导体

1或当区域V内有导体存在,给定导体之外的电荷分布当○(x),S

n

S

已知,

2每个导体电势i或带电量,则V内电场唯一确定。 ○

静电边值问题的构成:

2

——微分方程 1

1S2S



1 2 21

nSnS



或S——边界条件 nS

3.静电边值问题的基本解法: (1)镜像法:

理论依据:唯一性定理,采用试探解的方法。 1.镜像法概念、条件

 镜像法:用假想点电荷来等效地代替导体或介质边界面上的面电荷分布,然

后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。

 条件:①所求区域内只能有少许几个点电荷(只有点电荷产生的感应电荷才

能用点电荷代替。)或是简单的连续分布。

②导体边界面形状规则,具有一定对称性。 ③给定边界条件。

 要求:①做替代时,不能改变原有电荷分布(即自由点电荷位置、Q大小不

能变)。泊松方程不能改变。所以假想电荷必须放在所求区域之外。 ②不能改变原有边界条件,通过边界条件确定假想电荷的大小和位置。 ③一旦用了假想等效电荷,不能再考虑边界面上的电荷分布。 ④坐标系根据边界形状来选择。

(2)分离变量法:

 条件:电势满足拉普拉斯方程:20

A.空间处处0,自由电荷只分布在某些介质(如导体)表面上,将这些表面视为区域边界,可以用拉普拉斯方程。

B.在所求区域介质中有自由电荷分布,若这个自由电荷分布在真空中,产生的势0为已知,则区域V中电势可表示为两部分的和

0

不满足0,但表面上的电荷产生的电势使0满足,仍可用拉

2

2

普拉斯方程求解。

注意:边值关系还要用S而不能用S。  拉普拉斯方程20的通解: 轴对称通解: (R,)

n

(anR

n

bnR

n1

)Pn(cos)

Pn(cos)

为勒让德函数,P01

P2(cos)

12

2

P1(cos)cos

(3cos1) …

球对称通解:若与,均无关,即具有球对称性,则通解为:

(R)a

bR

 解题步骤

1.选择坐标系和电势参考点

坐标系选择主要根据区域中分界面形状 参考点主要根据电荷分布是有限还是无限

2.分析对称性,分区域写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解 3.根据具体条件确定常数

(1) 外边界条件: 电荷分布有限 

0

导体边界可视为外边界,S给定,或给定总电荷Q,或给定 (接地 

S

0)



电荷分布无限,一般在均匀场中,EE0ez

E0rcosE0z (直角坐标或柱坐标)

(2) 内部边值关系:介质分界面上

1n

S

14.

S

2

S

12

2n

S

表面无自由电荷

电多极矩

讨论电荷分布在小区域内,而场点又距电荷分布区较远,即 l<

(1)电势的多极展开:

式中Q



0

x



140

x



V

40r



1

1

2



111

P40R40R406

Q

D

xx

ij

ij

i

2

1

j

R



V

dv——体系的总电荷

P

ij

V



xdv——体系的电偶极矩

D

V



3xixjxdv——电四极矩



(1)意义:小区域内电荷体系在远处的电势可以看成是位于原点的点电荷,偶极子,电四极子,电八极子等产生的势的叠加。

(2)电偶极矩P



P原点无关。xdv依赖于原点的选取,但当系统中正、负电荷数量一样多时,与



(3)对点电荷系统P

i

qixi,D3qixixi

i



(4)当电荷分布关于原点对称时P0

(2)小区域电荷体系在外电场中的相互作用能

其中Wi

WiWi

1

0

Wixedv



Wi

qe0,q

0

Wi

1

Wi

2







xdV是点电荷在外电场中的相互作用能



pe0pEe0是电偶极子在外电场中的相互作用能 1

D:e0是电四极子在外电场中的相互作用能 6

2

电偶极子在外电场中受的力



1

FWipEepEe





若外电场均匀F0

电偶极子在外电场中受的力矩

LpEe

三.重点与难点

本章重点:静电势及其特性、分离变量法、镜象法。 本章难点:镜象法、分离变量法(柱坐标)、电多极矩。

第二章 静 电 场静电场:静止电荷或电荷分布不随时间变化产生的电场一.主要内容:应用电磁场基本理论解决最简单的问题:电荷静止或电荷分布不随时间变化,产生的场不随时间变化的静电场问题。本章研究的主要问题是:在给定自由电荷分布及介质和导体分布的情况下如何…

第二章 静 电 场静电场:静止电荷或电荷分布不随时间变化产生的电场一.主要内容:应用电磁场基本理论解决最简单的问题:电荷静止或电荷分布不随时间变化,产生的场不随时间变化的静电场问题。本章研究的主要问题是:在给定自由电荷分布及介质和导体分布的情况下如何…

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