圆锥曲线与方程基本知识概要 投稿:秦饩饪

圆锥曲线与方程基本知识概要2.1 椭 圆一.椭圆及其标准方程1.椭圆的定义(第一定义):平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数2aF1F2的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|};(2aF1…

§2.1.1椭圆及其标准方程(1)1.从具体情境中抽象出椭圆的模型;2.掌握椭圆的定义;3.掌握椭圆的标准方程.(0,1),(2,0)的直线方程 .复习2:方程(x3)2(y1)24 表示以为圆心.二、新课导学 ※ 学习探究取一条定长的细绳,…

高三数学复习专题:解圆锥曲线问题常用方法解圆锥曲线问题常用以下方法: 1、定义法(1)椭圆有两种定义。第一定义中,r1+r2=2a。第二定义中,r1=ed1 r2=ed2。(2)双曲线有两种定义。第一定义中,r1r22a,当r1>r2时,注意r2…

圆锥曲线与方程基本知识概要

2.1 椭 圆

一.椭圆及其标准方程

1.椭圆的定义(第一定义):平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数2aF1F2



的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|};(2aF1F2时为线段F1F2,2aF1F2无轨迹)。这里两个定点F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。

x2y2

2.标准方程:①焦点在x轴上:221(a>b>0); 焦点F(±C,0)

ab

y2x2

②焦点在y轴上:221(a>b>0); 焦点F(0, ±C)

ab

这里椭圆 c ²=a²-b²

注意:①在两种标准方程中,总有a>b>0,c

a2b2并且椭圆的焦点总在长轴上;

②两种标准方程可用一般形式表示:Ax2+By2=1 (A>0,B>0,A≠B),当A<

B时,椭圆的焦点在x轴上,A>B时焦点在y轴上。

二.椭圆的简单几何性质: 1.范围

x2y2

(1)椭圆221(a>b>0) 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b

ab

y2x2

(2)椭圆221(a>b>0) 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a

ab

2.对称性

椭圆关于x轴y轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对

称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点

(1)椭圆的顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)

(2)线段A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4.离心率

(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比

cc

称为椭圆的离心率,用e表示,即e=(0<eaa

<1)

因为a>c>0,所以0<e<1。e越接近于1(e越大),则c越接近于a,从而b越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近于0 (e越小),c越接近于0,从而b越接近

圆锥曲线与方程基本知识概要 第1页

于a,这时椭圆就越接近于圆。e0是圆。

(2)椭圆的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数e(0<e<1)的点的轨迹为椭圆。

2axy

①焦点在x轴上:221(a>b>0)准线方程:x

cab

2

2

ay2x2

②焦点在y轴上:221(a>b>0)准线方程:y

cab

2

*补充:(1)焦半径公式:P(x0,y0)为椭圆上任一点。|PF1|=r左=a+ex0,|PF2|=r右=a-ex0;

|PF1|=r下=a+ey0,|PF2|=r上=a-ey0;

PFmaxac,PFminac

b22a2

(2)焦准距p;准线间距

cc

(3)两个最大角F1PF2maxF1B2F2,A1PA2maxA1B2A2

y2x2

焦点在y轴上,中心在原点:221(a>b>0)的性质可类似的给出(请课后完成)。

ab

●重难点:椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单的几何性质。

●思维方式:待定系数法与轨迹方程法。

●特别注意:椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐

标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.

2.2 双曲线

一.双曲线的概念

1.双曲线的定义(第一定义):平面内与两个定点F1,F2距离的差的绝对值等于常数

2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,即点集P|PF1PF22a。(2aF1F2为

两射线;2aF1F2无轨迹。)这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2c.

2. 双曲线的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一条定直线(准线)的距离的比是常数e(e1)的动点的轨迹叫做双曲线。

圆锥曲线与方程基本知识概要 第2页



二.双曲线的标准方程及几何性质

圆锥曲线与方程基本知识概要 第3页

三.共轴双曲线和共轭双曲线 (1)共轴双曲线

x2y2

a0,ba=b0),那么双曲线的方程为x² 在方程221(中,如果-y²=a²,它的实轴和虚轴的长

ab

都等于2a。这时,四条直线x=±a,y=±a围成正方形,渐近线方程为y=±x,它们互相垂直,

并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角。实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

(2)共轭双曲线

实轴与虚轴互换的双曲线,如 与 互为共轭双曲线(只是

两轴的数字互换,但实轴仍是b²,虚轴仍是a²)其性质如下:

y ①共轭双曲线的渐近线相同都是

②焦距相同,焦点不同

③共轭双曲线的四个焦点在同一圆上 ④两个离心率的倒数的平方和为1,即

bx a

*四.点Px0,y0和双曲线的关系

bab 2.P在双曲线上y__________________

ab 3.P在双曲线外y__________________

a 1.P在双曲线内y__________________

x2y2

y2)*五.AB为双曲线221(a0,b0)的弦,A(x1,B(x2,弦中点Mx0,y0。 y1)

ab

1.弦长l=____________________________________________ 2.kAB = ___________________

3.直线AB的方程:________________________

4.直线AB的中垂线方程:___________________________

圆锥曲线与方程基本知识概要 第4页

说明:(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方程的两个有力工具,所

以要对双曲线的两个定义有深刻的认识。 (2)双曲线方程中的a,b,c,e,p与坐标系无关,只有焦点坐标,顶点坐标,准线及渐近线方程与坐标系有关,因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件,焦点坐标或准线,渐近线方程。

求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹方程法。

(3)直线和双曲线的位置关系,在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式,求解问题的类型也相同。唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时,不一定相切。

x2y2y2x2

利用共渐近线的双曲线系22k或2 k(k0)方程解题,常使解法简捷。

2abab

(4)双曲线的焦半径,当点P在右支(或上支)上时,为ex0a,(ey0a);当点P在左支(或下支)上时,为(ex0a),[(ey0a)];利用焦半径公式,解题简洁明了,注意运用,

●重点、难点:深刻理解确定双曲线的形状,大小的几个主要特征量,掌握定义,性质,掌

握直线与双曲线的位置关系。

●思维方式:方程的思想,数形结合的思想;待定系数法,参数思想等。

2.3 抛 物 线

1.抛物线的定义(圆锥曲线第二定义):到一个定点(焦点)的距离与到一条定直线(准

线)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

2. .抛物线的离心率:

抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离之比叫做抛物线的离心率,用e表示。有定义可知,e=1

圆锥曲线与方程基本知识概要 第5页

4.焦点弦和通径的概念

(1)焦点弦:在抛物线中,通过其焦点的直线与抛物线的交点连线叫焦点弦。

(2) 若在抛物线中通过焦点而垂直坐标轴的直线与抛物线的交点的连线叫做抛物线的通径,它的长为2p.

5.直线与抛物线相交形成的弦长计算公式:_____________________________________

圆锥曲线与方程基本知识概要 第6页

*6.焦点弦:AB为y22pxp0的焦点弦,A(x1,y1)B(x2,y2),弦中点

M

x,y.

p2(1)x1x2

4

(2)y1y2(3)弦长

p2;

2p

ABx1x2p,(α为AB的倾斜角) 2

sin

X1+X2≥2 =p,即当X1=X2时,通径最短为2p *7.点P

x,y和抛物线的关系

 (1)P在抛物线内(含焦点)y________________ bab (3)P在抛物线外y________________

a (2)P在抛物线上y________________

2

y202

8.标点 抛物线y2px上的点可标为x0,y0或或,y2pt,2pttR

2p0

b

a

圆锥曲线定义的应用

1、 知识精讲:

涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形,常用第一定义结合正余弦定理; 涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点,常用统一的定义。 椭圆的定义:点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|};

双曲线的定义:点集M={P|︱|PF1|-|PF2|︱=2a, (2a|F1F2|) }的点的轨迹。 抛物线的定义:到一个定点F的距离与到一条得直线L的距离相等的点的轨迹.

e,}0<e<1为椭圆,e>1为双曲线,e=1为抛物线 d

重点、难点:培养运用定义解题的意识 2、 思维方式:等价转换思想,数形结合 特别注意:圆锥曲线各自定义的区别与联系

统一定义:M={P|

PF

圆锥曲线与方程基本知识概要 第7页

圆锥曲线与方程基本知识概要2.1 椭 圆一.椭圆及其标准方程1.椭圆的定义(第一定义):平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数2aF1F2的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|};(2aF1…

圆锥曲线与方程基本知识概要2.1 椭 圆一.椭圆及其标准方程1.椭圆的定义(第一定义):平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数2aF1F2的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|};(2aF1…

圆锥曲线与方程基本知识概要2.1 椭 圆一.椭圆及其标准方程1.椭圆的定义(第一定义):平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数2aF1F2的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|};(2aF1…

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