圆锥曲线(知识点) 投稿:莫煆煇

圆锥曲线 一、椭圆 (一)定义:(Ⅰ)若F1,F2是两定点,P为动点,且PF1PF22aF1F2 (a为常数)则P点的轨迹是椭圆. P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常l(Ⅱ)若F1为定点,为定直线,动点数e(0

教学过程 一.课程导入: 前面学习到直线与圆有三种位置关系,那么对于直线和圆锥曲线有几种位置关系,通过我们的猜想和画图我们知道也有三种关系,那么它们之间有什么关系? 二、复习预习 回顾我们之前学习直线与直线的位置关系,直线和圆的位置关系,都有哪些性…

高中数学圆锥曲线的教学研究 作者:莫荣茂 来源:《中学教学参考·理科版》2014年第11期 圆锥曲线问题是高中数学教学的重、难点.每年的高考中,都会涉及圆锥曲线问题,出题形式多样,既有分值较低的选择题和填空题,也有分值很高的大题.但是学生的得分率普遍…

圆锥曲线

一、椭圆

(一)定义:(Ⅰ)若F1,F2是两定点,P为动点,且PF1PF22aF1F2 (a为常数)则P点的轨迹是椭圆.

P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常l(Ⅱ)若F1为定点,为定直线,动点数e(0

(二)图形:

(三)性质:

x2y2x2y2

标准方程:221 (ab0) 或 221(ab0).

baab

范围:-a#xa, -b#yb.

长轴长:2a 短轴长:2b 焦距:2c . 对称性:关于轴x对称;关于y轴对称;关于原点对称.

a,0),(0,b) 顶点坐标:(北

焦点坐标:(?c,0),c离心率:e

2

a2-b2

ce1时,椭圆越扁;e0时,椭圆越趋近于圆. aa2

准线方程:x.

c

焦半径:PF1ac等(注意涉及焦半径1aex0,PF2aex0,acPF

①用点P坐标表示,②第一定义.).

2b2通径:过焦点且垂直于焦点轴的弦(过焦点的最短弦)为.

a

注意:(1)图中线段的几何特征:A1F1A2F2ac,A1F2A2F1ac,

B1F1B1F2B2F2B2F1a ,A2B2A1B2

点与准线距离、焦点与准线距离分别与a,b,c有关.

a2b2等等.顶

2c,PF2、

(2)PF、三角形面积公式将有关线段PF11F2中经常利用余弦定理...........

有关角F1PF2结合起来,建立PF1

+PF2、PF1

PF2等关系.

ìïx=acos

(3)椭圆的参数方程:ï.椭圆上的点有时常用到(acos,bsin) í

ïy=bsinïî

(4)注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,请补充当焦点在y轴上时,其

22

相应的性质.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆方程可设为Ax+Bx=1.

二、双曲线

(一)定义:(Ⅰ)若F1,F2是两定点,PF1PF22aF1F2(a为常数),

则动点P的轨迹是双曲线.

(Ⅱ)若动点P到定点F则动1与定直线l的距离之比是常数e(e>1),点P的轨迹是双曲线.

(二)图形:

(三)性质:

x2y2y2x2

标准方程:221 (a0,b0) 221 (a

0,b0)

abab

范围:x³a或 x£a; yÎR;

实轴长:2a,虚轴长:2b;焦距:2c .

对称性:关于轴x对称;关于y轴对称;关于原点对称. 顶点坐标:(±a,0) 焦点坐标:(?c,0),c2离心率:e

a2+b2

ce越大,双a曲线越开阔.

a2

准线方程:x.

c

焦半径:通径:过焦点且垂直于焦点轴的弦(过焦点且弦的两个端点在同一支上的最短

2b2

弦)为.

a

注意:(1)图中线段的几何特征:AF1BF2ca,AF2BF1ac;

a2a2a2a2

或a或c 顶点到准线的距离:a;焦点到准线的距离:c; cccc2a2

两准线间的距离=.

c

x2y2x2y2b

(2)若双曲线方程为221渐近线方程:220yx;

aabab

xyx2y2b

若渐近线方程为yx0双曲线可设为22;

abaab

x2y2x2y2

若双曲线与221有公共渐近线,可设为22.

abab

(0,焦点在x轴上,0,焦点在y轴上).

22

双曲线x2-y2=1,(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为b.

ab

(3)特别地当ab时离心率e

2两渐近线互相垂直,分别为y=?x,

此时双曲线为等轴双曲线,可设为x2y2.

关线段PF1

(4)注意PF1F2中结合定义PF1PF22a与余弦定理cosF1PF2,将有

、PF2、F1F2

2

和角结合起来.

2

(5)完成当焦点在y轴上时,标准方程及相应性质.中心在原点,坐标轴为对称

轴的双曲线方程可设为Ax+Bx=1.

三、抛物线

(一)定义:到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线(定点不在定直线

上).

即:到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e(e=1).

(二)图形:

(三)性质: 标准方程:

y22px,(p0),p焦参数;

范围:x澄0,yR. 对称性:关于轴x对称; 顶点坐标:(0,0)

p

焦点: (,0) ,通径AB2p;

2

p

准线方程: x;

2ppp

焦半径:CF=x0+,过焦点弦长CDx1x2x1x2p

222

p

注意:(1)几何特征:焦点到顶点的距离=;焦点到准线的距离=p;通径长=2p

2

顶点是焦点向准线所作垂线段中点.

2y0

(2)抛物线y2px上的动点可设为P(,y0)或P(2pt2,2pt)或P(x0,y0)其中

2p

2y0=2px0.

2

四、直线与圆锥曲线的位置关系

1.直线与圆锥曲线的位置关系,从几何角度可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相异公共点.

2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为方程组解的个数与交点的个数是一样的.

位置关系判断:△法(△适用对象是二次方程,二次项系数不为0).

其中直线和双曲线只有一个公共点,包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形;后一种情形下,消元后关于x或y方程的二次项系数为0.

直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况;后一种情形下,消元后关于x或y方程的二次项系数为0.

3.当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理;二是点差法. 计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式.

4.一般地,若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A,B两点分别为A(x1y1),B(x2,y2),则弦长

AB=

x2

x1=

11

yy(1)[(y1y2)24y1y2],这里体现了解析几何“设而不2122kk

求”的解题思想.

5.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考,一是建立函数,用求值域的方法求范围;二是建立不等式,通过解不等式求范围. 

圆锥曲线 一、椭圆 (一)定义:(Ⅰ)若F1,F2是两定点,P为动点,且PF1PF22aF1F2 (a为常数)则P点的轨迹是椭圆. P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常l(Ⅱ)若F1为定点,为定直线,动点数e(0

圆锥曲线 一、椭圆 (一)定义:(Ⅰ)若F1,F2是两定点,P为动点,且PF1PF22aF1F2 (a为常数)则P点的轨迹是椭圆. P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常l(Ⅱ)若F1为定点,为定直线,动点数e(0

圆锥曲线 一、椭圆 (一)定义:(Ⅰ)若F1,F2是两定点,P为动点,且PF1PF22aF1F2 (a为常数)则P点的轨迹是椭圆. P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常l(Ⅱ)若F1为定点,为定直线,动点数e(0

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