从数学对称美角度话自然对数的由来 投稿:尹蟚蟛

《 数学之友》 2 0 1 4年第 1 2期 从数学对称美角度话自然对数的由来 黄 海 ( 南京师范大学数学科学学院 , 2 1 0 0 2 3 ) 字母 e 是 由大数 学家 欧拉 ( L e o n h a r d E u l e r , 1 7…

根号的由来现在,我们都习以为常地使用根号(如等等),并感到它使用起来既简明又方便.那么,根号是怎样产生和演变成现在这种样子的呢?古时候,埃及人用记号“┌”表示平方根.印度人在开平方时,在被开方数的前面写上ka.阿拉伯人用表示.1840年前后,德国人用…

小九九”的由来现在小学生学的“小九九”口诀,是从“一一得一”开始,到“九九八十一”为止,而在古代,却是倒过来,从“九九八十一”起,到“二二得四”止。因为口诀开头两个字是“九九”,所以,人们就把它简称为“小九九”。大约到13、14世纪的时候才倒过来像现…

《 数学之友》  

2 0 1 4年第 1 2期 

从数学对称美角度话自然对数的由来 
黄 海 
( 南京师范大学数学科学学院 , 2 1 0 0 2 3 )  

字母 e 是 由大数 学家 欧拉 ( L e o n h a r d   E u l e r , 1 7 0 7   年 4月 1 5日 一1 7 8 3年 9月 1 8 日) 首先使用 的, 欧 

有, —个无理数的对数值怎样去算它的对数呢?自然  对数是怎么在科学技术中进行运用的?  

拉引人的 e 是极限的值 , 它是一个无理数 , 在高等数 
学 中有着 广泛 的应 用 , 但 是 它 又 是 怎 样 被 运 用作 为  对数 函数 的底 而组 成 了 自然对 数 呢 ?本文 将从 数学 
对称 美 的角度 来 阐述 自然 对 数 是 如何 引进 的 , 以及  自然 对数 的广 泛发 展.  

3 从数学对称美角度阐释 自然对数的产生 
对于 自然对数的由来 , 有着各种可能的解释 , 其  中之 一就是 出于对称 性 的考虑.   当 时 的数学 家 们 在使 用 常 用对 数 时 发 现 , 这 个  对数模型其实并不是那 么理想 的, 从对称美 的角度  来看 , 首先 , 常 用 对 数 的 真 数 Ⅳ 及 其 对 数 值 的增 长  表现 为 明显 的不 对 称 性 ( 当 Ⅳ从 1增 长 到 1 0 0时 ,   对数值就只是增长了 1 个单位) , 其次 , 当真数 Ⅳ均  匀地 增长 时 , 其 对数 的增 长却 是 不 均 匀 的 ( 例如, 当 
真数 每增 长 1个 单 位 时 , 对 数 值 的增 长值 为 9 , 9 0 ,  

1 对 数 的 由来 
对数 最初 是 由苏格 兰贵族 数 学家 纳皮 尔 ( J . N a .  
p i e r , 1 5 5 0—1 6 1 7 ) 提出 , 他在 对 球 面 天 文 学 的 三角 

学 的研究 中 , 为 了减轻其 中的复 杂计算 , 通 过 多方探 

索, 终于将复杂 的乘 除运算简化 为加减运 算 , 1 6 1 4   年他 将 相 关 的成 果 发 表 在 《 奇 妙 的对 数 定 理 说 明  书》 中. 但是 , 他这时的对 数还不 成熟 , 对数 的底数  还没 有简 化.   当纳 皮 尔 的对 数 成 果公 之 于众 之后 , 他 的朋 友 
布里 格斯 ( H. B r i g g s , 1 5 6 1 —1 6 3 1 ) 对 他 的成 果 很 是 

9 0 0增长值都不是均匀的) , 如图 1 .  
y  

8  

6  

推崇 , 两人 合作 , 就 得到 了 今天 所 谓 的“ 常用 对 数 ” .  

4  

他们采用的原因很简单 : 因为我们 的数系是十进制  的, 从而它在数值计算上有优越性. 布里格斯 的《 对  数算术》 中编制了 1 — 2 0 0 0以及 9 0 0 0 0—1 0 0 0 0 0的  1 4位常用 对 数表.  


2  

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:   = l o t   . (  :  

D   厂  
2  

1   )  

】   5  

2   自然对数的 出现 
在 高 中数 学 各类 的教 材 版本 中 , 都 有 关 于 对数 
图 1  

函数这一知识点的介绍 , 其中, 不难发现有这样 的一 
段话 : “ 通 常我们 将 以 1 0为底 的对 数 叫 做 常 用对 数  ( c o m mo n   l o g a r i t h m) , 并 把记 为 , 另外 , 在科 学 技 术 中 

为了克服不对称性 , 大家就考虑采用较小 的底 
数, 首 先想 到 的是 比 1大 的 1 . 1 , 即: b=l o g   N, ( 为 
. 

了便于计算 , 我们以指数的变化来带动真数 的变化 
来进 行研究 ) 则有 :  
表 1  
b ( 指数)  
O  
1  

常使用以无理数为底数 的对数 , 以为底 的对数称为  自 然对数( n a t u r a l   l o g a r i t h m ) , 并把记为” l 1   J .  

在教学时, 很多高中数学老师会对这一段 的介绍 
采用一笔带过的方式来讲授, 常用对数的存在显得很  合情合理 , 但是很多好奇心重的同学就会产生疑惑 : 为  什么会有 自 然对数的存在?而为什么自然对数会以一  个无理数为底 ?这不是更加复杂 了对数 的运 算吗 ?还 


A b  
’  

Ⅳ。 = ( 幂)  
1  
1 . 1  

△ Ⅳl  
01  


0 . 1 1  

2   3   4 

l =1  

1 . 2 1   1 . 3 3 l   O . 1 2l   0 . 1 3 31  

J  

1 . 4 6 4 1  

8・  

《 数学之友》  

2 0 1 4年第 1 2期 

由表 1可以看出, 与以 l O为底 的常用 对数相  比, 现在幂 的改变大致上是比较均匀的了.   而I . 1毕竟 不是 最 小 , 我 们还 可 以再 次减 小 底  数, 是 不是 这样 的均 匀 程 度更 明显 呢?那 么 我 们 就 
试 试看 , 当 b=l o g 1 . 0 0 1 N, 如 表所 示 0 . 0 0 1 0 0 2 0 0 1 .   表2  
b ( 指数 )   A b   ^  ( 幂)   △ Ⅳ 2  

表3  
6 ( 指数 )   △6   ^  ( 幂)   △  

0 2 4 1 3   卜   1 . 0 1 4 . 0 3 0 1 2 6   3 1 0 4   0 1   0 . O 0 o l . O 1 0 3 0 O 2 1   o 3 O 1  
如此, 不对称性也在很大程度上被克服了.   进 而, 我 们 依 次采 用 ( 1 .1 ) 加 , ( 1 . 0 1 ) 啪,   ( 1 . 0 0 1 ) 舢, ( 1 , 0 0 0 1 )   。 。 。 。 为底 时, 原来的不对称情  况 将不 断 的得到 改 善. 同时很 容 易让 人 联 想 到 极 限 
,   1
 、  

O ・   l   - 1  1 . 0 1 . 0 1 2   o l 0   1  0 . 0 o . o 0 1 0 1 0   l  
2   3  

1 . 0 0 3 0 0 3 o o 1  

0 . 0 01 0 0 2 0 01  

4  

J  

1 . 0 o 4 o o 6 o o 4 o 0 l  

0 . 0 0l O 0 3 0 0 3 0 01  

由 表2 数据可以看出, 当底数越来越小时, 真数 的   变化逐渐趋于相同, 也就是说它的均匀性也是越 来越好  从上面可看 出, 相对于常用对数 的那种不均匀  性大 致上 解决 了 , 但是 , 从 表 中数 据可 以看 出 , 不 对  称性的问题还存在着 , 就表 2来说 , 指数 的增长都是  1 , 但是真数的增 长却 近似等于 0 . 0 0 1 , 如何 来处理  这样 的不 对 称性 呢?   其实可 以看 出, 指数 b 的增长数是真数 Ⅳ的增  长数 的 1 0 0 0倍 , 要 想 使 两 者相 等 , 那 么可 以通 过 缩  小b 或 者 增大 J 7 、 r 倍 数来 实现.   如果 我们 缩小 指 数 b呢 , 即 以( 1 . 0 0 1 )   咖为底 ,   那 么就有 下 表 :  

值e = l i m f 、   1 +  , I   , 如果取对数底为 e , 那么函数的  
对称性就得到了最大程 度上 的保证. 这是 由数学对  称美很 自 然的引出了以 e 为底的对数 函数 , 因而把  这样的对数 函数叫做 自 然对数.  
参 考 文献 :  

[ 1 ]   钱佩玲. 普通高 中课程标 准实验 教科书  数学必修 1 . 北京 : 人 民教育出版社 , 2 0 1 0 .   [ 2 ]   郑毓信. 数学方法论入 门 [ M] . 杭州 : 浙  江教 育 出版社 , 1 9 8 5 . 9 2—9 7 .   [ 3 ] 李 文林 . 数 学 史 概 论第 二 版 [ M] . 北 京:   高等教 育 出版社 , 2 0 0 0 . 1 3 6—1 3 7 .  

( 上接第 7页)   有时会感到 “ 山穷水尽” ; 反之 , 若  能 积极运 用 各种语 言 , 多角 度 、 多侧 面地转 换 问题 的  表述 , 则常常会有“ 柳暗花 明” 之感.   例4 设 口 , b是两 个实 数 , A={ (  , Y ) I  = 1 1 , , Y   =M +b , t l , E   Z} , B={ (  , ) , )l   =m, Y=3 m( m  +   5 ) , r r t ∈ z}, C={ (  , ) , ) I   + y 2 =≤1 4 4   l 是平 面  X O Y的点集 , 讨论是否存在 a 和b , 使得 ( 1 ) A   n B≠   ( 2 ) ( 口 , 6 ) ∈C同时成立 .   评析 : 此题是由集合语言表述的, 问能否找到集  合A , B, C的公共元素?   转 换 为 方 程
语 言 就 是 方 程 组 


问题 又进一步转换为这两个 图形是 否有公共点 ?于是  利用解析几何 的观点 , 圆的半 径不超 过 l 2 , 即圆心 ( 0 ,  

0 ) 到直线的距离不大于 l 2 , 用点到直线距离的公式, 有  d =   ≤1 2 , 解这个不等式可求 出   的值, 再根 
1  

据 n求 出 口 、 b的值  

在这道题 目的解法中, 包括“ 集合语言 方程语言  ( 符号语言)   图形语言—解析几何语言” 这几种转挽  经过 以上几种转换 , 问题得到 了解 决. 这 种数学语言 的  转换可以看作是数学解题中的一种重要方 
参 考文 献 :  

[ 1 ]   [ 美] G・ 波利亚. 怎样解题 [ M] . 北京 :   这种语言转换所达到的理解方式上由几何转换成  九章出版社 , 2 0 0 0 .   [ 2 ]   涂荣 豹. 数学建构主义学 习的实质及其  代数, 在代数的理解方式下, 原问题转换成了解方程与  不 等式 组 的问题 但是仅 仅从这两 个式子并 不能求 出  主要特征[ J ] . 数学教育学报 , 1 9 9 9 , 8 ( 4 ) .   a , b 、 1 1 , 三个元素的值 从语言上将这个问题再进一步转  [ 3 ] D . B u r g h e s . M a t h e m a t i c a l   M o d e l l i n g [ M] .   P r e n t i c e   Ha l l   I n c , 1 9 9 6   换为图形语言即为: 方程①表示的图形是直线 , 不等式  ②表示的图形是圆, 这种语言转换所达到的理解方式  [ 4 ]   弗赖登塔尔. 作为教育任务的数学[ M] .   是由代数转换成解析几何 在解析几何的理解方式下,   上海 : 上海教育 出版社 , 1 9 9 9 .  


f 1  + 6 2   3 n ( n   + 5  ②是 否 有 解 .   口   +6 。 ≤1 4 4   一 

9・  


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《 数学之友》 2 0 1 4年第 1 2期 从数学对称美角度话自然对数的由来 黄 海 ( 南京师范大学数学科学学院 , 2 1 0 0 2 3 ) 字母 e 是 由大数 学家 欧拉 ( L e o n h a r d E u l e r , 1 7…

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