双曲线方程圆锥方程与椭圆方程基本知识点 投稿:曾瞦瞧

数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线(一) 湖南省常德市安乡县第五中学 龚光勇收集整理 1.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F,F的距离的和等于常数当常数小于,且此常数 ,且此常数 一…

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数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线(一)

湖南省常德市安乡县第五中学 龚光勇收集整理

1.圆锥曲线的两个定义:

(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点

F,F的距离的和等于常数当常数小于,且此常数

,且此常数

一定要大于

当常数等于

时,轨迹是线段FF,

时,无轨迹;双曲线中,与两定点F,F

的距离的差的绝对值等于常数一定要小于|FF|,定义中的“绝对值”与

<|FF|不可忽视。若

=|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如:

①已知定点 A

. C. ②方程

D. B.

﹥|FF|,则轨迹不存在。若去

,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是

(答:C);

表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)

(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点2)

及抛物线上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____(答:

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):

(1)椭圆:焦点在轴上时(

)(参数方程,

其中为参数)

,焦点在轴上时=1

()

。方程表示椭

圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。比如:

①已知方

程表示椭圆,

则的取值范围为____(答

);

②若)

,且

,则

的最大值是____,

的最小值是___

(答:

(2)双曲线:焦点在轴上:方程

=1,焦点在轴上:=1()。

表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。比如:

双曲线的离心率等于

,且与椭圆有公共焦点,则该双曲线的方程

_______(答:

设中心在坐标原点

);

,焦点

在坐标轴上,离心率

的双曲线C

过点

,则C的方程为_______(答:

(3)抛物线:开口向右时上时

,开口向下时

,开口向左时

,开口向

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):

(1)椭圆:由

,

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__

(答:

(2)双曲线:由

,

项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。

特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F,F的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数

,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题

,在双曲线中,

最大,

时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,

最大,

4.圆锥曲线的几何性质:

(1)椭圆

(以②焦点:两个焦点

()为例)

:①范围:;

;③对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),四

个顶点,其中长轴长为2,短轴长为2;④准线:两条准线; ⑤

离心率:

,椭圆,越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁。比如:

①若椭圆

的离心率,则的值是__(答:3或);

②以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答:

(2)双曲线(以②焦点:两个焦点个顶点

()为例):①范围:或;

;③对称性:两条对称轴

,虚轴长为

2

,一个对称中心(0,0),两

,其中实轴长为2,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称

为等轴双曲线,

其方程可设为;④准线:两条准线;

⑤离心率:

,双曲线

,等轴双曲线,越小,开口越小,越大,开口越大;

⑥两条渐近线:

。比如:

双曲线的渐近线方程是,则该双曲线的离心率等于______

(答:

);

②双曲线

的离心率为,则= (答:4或);

③设双曲线(a>0,b>0)中,离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的

取值范围是________(答:

(3)抛物线

(以

);

为例)

:①范围:

;②焦点:一个焦点

,其中的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴,没有对

称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线

; ⑤离心率:,

抛物线

如设

,则抛物线的焦点坐标为________(答:);

5、点和椭圆()的关系:(1)点

在椭圆外

;(2

)点

在椭圆上=1;(3

)点

在椭圆内

6.直线与圆锥曲线的位置关系:

(1)相交:线相交不一定有点,故

直线与椭圆相交;

直线与双曲线相交,但直线与双曲

,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交

直线与抛物线相

是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;

交,但直线与抛物线相交不一定有相交且只有一个交点,故如:

,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线

也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。比

①若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______

(答:(-

,-1));

②直线y―kx―1=0与椭圆[1,5)∪(5,+∞));

恒有公共点,则m的取值范围是_______(答:

③过双曲线

的直线有_____条(答:3);

(2)相切:与抛物线相切;

(3)相离:与抛物线相离。

特别提醒:

的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则这样

直线与椭圆相切;直线与双曲线相切;直线

直线与椭圆相离;直线与双曲线相离;直线

(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;

(2)过双曲线=1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如

下:①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;

(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。比如:

①过点

作直线与抛物线

只有一个公共点,这样的直线有______(答:2);

②过点(0,2)与双曲

线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为

______(答:

);

③过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点,若4,则满足条

件的直线有____条(答:3);

④对于抛物线C:点

,我们称满足

的点

在抛物线的内部,若

在抛物线的内部,则直线:与抛物线C的位置关系是_______

(答:相离);

⑤过抛物线

的焦点

作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分

别是、,则

_______(答:1);

⑥设双曲线准线分别于(答:等于);

,则

的右焦点为和

,右准线为,设某直线交其左支、右支和右

的大小关系为___________(填大于、小于或等于)

⑦求椭圆 ⑧

直线

上的点到直线的最短距离(答:);

与双曲线

交于、两点。①当

为何值时,、分

别在双曲线的两支上?②当①

;②

);

为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:

7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,

即焦半径比如:

,其中

表示P到与F所对应的准线的距离。

①已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为

____(答:

);

②已知抛物线方程为点的距离等于____;

③若该抛物线上的点

,若抛物线上一点到轴的距离等于5,则它到抛物线的焦

到焦点的距离是4,则点的坐标为_____(答:);

④点P在椭圆上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的

横坐标为_______(答:

⑤抛物线为______(答:2);

);

上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB

的中点到轴的距离

⑥椭圆内有一点,F为右焦点,在椭圆上有一点M,

使

之值最小,则点M的坐标为_______(答:);

2007-12-17 人教网

数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线(一) 湖南省常德市安乡县第五中学 龚光勇收集整理 1.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F,F的距离的和等于常数当常数小于,且此常数 ,且此常数 一…

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