电动力学_郭芳侠_狭义相对论 投稿:莫纎纏

第六章 狭义相对论 1、简述经典力学中的相对性原理和狭义相对论中的相对性原理。 答:经典力学中的相对性原理:力学的基本运动定律对所有惯性系成立。 狭义相对论中的相对性原理:包括电磁现象和其他物理现象在内,所有参照系都是等价的。不存在特殊的参照系. 2…

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第六章 狭义相对论

1、简述经典力学中的相对性原理和狭义相对论中的相对性原理。 答:经典力学中的相对性原理:力学的基本运动定律对所有惯性系成立。 狭义相对论中的相对性原理:包括电磁现象和其他物理现象在内,所有参照系都是等价的。不存在特殊的参照系.

2、用光速不变原理说明迈克耳孙—莫雷实验不可能出现干涉条纹的移动。 答:光速不变原理告诉我们,真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为c,并于光源运动无关。因此在迈克尔逊——莫雷实验中,若使两臂长度调整至有效光程MM1=MM2,则在目镜中,两束光同时到达,没有光程差,因此不产生干涉效应。

3、如何校准同一参考系中不同地点的两个钟? 答:设A,B两个钟相距L,把钟B调到tBB钟接到讯号后开动。

4、如图6-4所示,当和的原点重合时,从一原点发出一球形闪光,当观察者看到t时刻波前到达P点x,y,z时,也看到中固定的点P'x',y',z'和

P点重合,情况有如在t0时看到两原点重合一样,换句话说,观察者在

'

'

L

(不动),tA0时送出一光讯号,c

t时确定了一个重合点P'的空间坐标x',y',z'。问'观察者看本参考系的球面光波到达P'的时刻t'

(1)是不是本参考系时钟指示的读数为

r'

t,

r'?

c

'

P(x,y,z,t)

(2)是不是用洛仑兹变换计算得的时刻为

v

t't2

c

x? 

提示:同一光讯号事件的两个时空坐标为

x,y,z,t,x',y',z',t',满足

是通过指定点x,y,z和x',y',z'x'2y'2z'2c2t'2x2y2z2c2t20,的球面,半径分别为ct'和ct。

解:(1)是.由于光速不变原理,任何惯性系下,光速时一样的,因此在∑’系下,时钟读数为t'

r'

,r’为P’到O’的距离,即r'x'2y'2z'2. c

(2) 是.整个物理过程是同一事件在不同参考系∑和∑’上观察,给时空坐标之间的关系,因此只要知道两个参考系间的关系,就可以由洛仑兹变换来表达。所以

v

t't2

c

x,这里v为∑’相对∑系得速度,xoo'。 

5、一质点在惯性系中作匀速圆周运动,其轨迹方程为x2y2a2, 惯性系相对于以速度v沿x方向运动,则在中观察, 质点的运动轨迹为

(xvt)2y2a2 , 对吗?为什么?

答: 中作匀速圆周运动x2y2a2 , 则在中观察, 质点的运动轨迹一定不是(xvt)2y2a2 .这是经典时空观伽利略变换的结果. 根据洛伦兹变换

x

(xvt) . yy,zz , t(t

vt) c2

代入得中观察质点的运动轨迹为: 2(xvt)2y2a2

6、当两坐标系原点重合的时刻,在系的x轴上取x1的P点,P点在'中的坐标是多少?若先在'系在x'轴上取x'1的P点,P点在中的坐标是多少?

解:(1)

由洛仑兹变换x'

t=0),当x1,

t=0时

,x

(2)根据相对性原理,P在∑中的坐标依然为x

x'vt(v)c2

2

=

1vc2

2

=

7、在参考系,真空中电磁波波动方程为

212

220 2xct

利用洛仑兹变换(微分变换)证明方程在'中具有相同的形式

212

2'20'2

xct

解:由洛仑兹变换:x'(xvt),t'(t

vxx1t1

),,同时, c2x'x'v

2

22v22v222222

21212x2x'2ct'x'c4t'24222('22'2)0, 22222222

xctxct1v2v



c2t2c2x'2c2t'x'c2t'2

212

从而有:'22'20,即形式不变。

xct

8、在时空结构光锥中,事件1取o,事件2若在上或下半个光锥面内,各代表着什么?

答:在上半个光锥面内,事件2是事件1的绝对的未来。 在下半个光锥面内,事件2是事件1的绝对的过去。

9、同时的相对性是什么意思?如果光速无限大,是否还会有同时的相对性? 答:在一个惯性系中同时不同地发生的两个事件,在另一个惯性系中观察可能不同时;在一个惯性系中不同时但间隔类空的两个事件在另一个惯性系中观察,可能同时。

光速无限大,则不会有同时的相对性。 10、

在∑′系中同时同地发生的两事件,在否也同时发生?

vx

),若x'1x'2,t'1t'2,2c

答:根据Lorentz变换, x'(xvt),yy,zz,t'(t

在∑系中必有x1x2,t1t2,∑系中是同时发生。 11、

说明运动的尺缩短与运动时钟延缓的关系,并举例.

答: 运动的尺缩短与运动时钟延缓密切联系。

如子穿过大气层。子是在大气层上部产生的,若不是相对论效应,静止子的寿命只有2.197106s,即使以接近光速运动,也只能飞越660m,不可能穿越大气层,但实际上大部分子都能穿透大气层到达底部.以地球为参考系,可以说子相对于大气层以很高的速度运动,寿命变长,因而可以通过大气层。以子本身为参考系,大气层相对于子以很高速度运动,大气层变薄,因此可以通过大气层。 12、

在两坐标系原点重合时,'中观察到'的各时钟指示t0,但看对方

v

x,如图6-12(a)所示正确否?c2

的O钟指示为零,x处的C钟指示为t

这是发生在'中的两个异地同时事件,观察者则观察到非同时发生。在两坐标系原点重合的瞬间看对方O'钟指示为零,而在经过t时本参考系的钟均指示t所示,这种说法正确吗?

提示:O'钟慢效应,C'对O'的时间差。

答:两种说法均正确。前者正是钟慢效应的原理,由运动的相对性可知后者也是正的。

v

x的时间后,这2c

v''

x,才看到对方钟指示如图6-12(b)Ct0,c2

x

(a) ’

13、 在相对论中,在垂直于两个参照系的相对速度方向的长度的量度与参照

系无关,

而为什么在这方向上的速度分量却又和参照系有关。 答: 因为速度定义式:ux

dxdy,uy,虽然垂直于相对速度方向y方向dtdt

的长度量度与参考系无关,但时间与参考系有关,因而,y方向的速度分量就和参考系有关。 14、

双生子佯谬。有一对孪生兄弟A和B,B以很高的速度飞离地球。从A

的观点看来,B的所有的钟都变慢了,因而B回来时,B将比A年轻。从B的观点看来,A的所有的钟都变慢了,因B而回来时,A将比B年轻。试问重逢时究竟谁年轻了?为什么

答:B年轻了。因为A是在惯性系中,B不在惯性系中,而是加速运动的参考系。在有加速运动的情形下,导致了A的所有钟都变慢了的绝对的物理效应。 15、

在Ox1y1z1坐标系中静止质量为m0的物体的速度u平行于x1轴,有一速度

函数为

f(u)

; u

2

dx1

 dt

2

试证明当坐标系转动成Oxyz时,速度函数式不变。证明时要注意一般公式

dx1

2

dy1dz1dxdydz

22222

解:坐标发生旋转时,设

xoy

在xoy基础上旋转了角,则有:

x'xcosysin ① y'xsinycos ②

z'和z重合未变,速度矢量u在xoy坐标系下为

u

drdxdydz

ijk(设r在z轴上分量为z) dtdtdtdt

2

2

2

2

2

2

思考题6-15

dxdydzdxdydzu

2u

dtdtdtdtdtdt

u'在x'oy'坐标系下为:

u'

2

drdx'dy'dz'

ijk dtdtdtdt

2

2

2

dx'dy'dz'u'

dtdtdt

将①,②式代入,则:

dxdydxdydx

u'cossin2sin2sin2

dtdtdtdtdt

2

2

2

2

2

2

2

2

2

sin2

dxdydydzdxdydz

cos2dtdtdtdtdtdtdt

2

2

2

2

2

2

2

dx'dy'dz'dxdydz

即u'u

dtdtdtdtdtdt

16、 如何区分标量、矢量、二阶张量?

答:① 在坐标旋转下按uu变换的量是标量。 ② 在坐标旋转下按viaijvj变换的量是矢量。 ③ 在坐标旋转下按TijaikajlTkl变换的量是二阶张量。

17、

已经证明算符是矢量。ei



eiAi,Ai

xixi

(1)写出三维空间矢量B的梯度B(张量)的表示式。 (2)证明AB=(A)B

答案:(1)B=

Bjxi

eiej

提示:(2)B可看成矢量与矢量B的并矢,再注意到算符的微分性即可。 解:⑴ ei

eiAi xi

则Bei

Bjejxi

,写作张量式:

B

Bjxi

eiej,i,j1,2,3.

Bjxi

Bjxi

(2)ABAeiieiejAiej,

(A)B(Aeiej

18、

Bj(Bkek)

)BkekAiAiejAB xjxixi

四维电流密度矢量为JJ1,J2,J3,ic,连续性方程可写成协变形式

Jx

0

若把四维电流密度矢量的第四个分量定义为J4ic2,结果怎样?又违反了什么?

解:连续性方程为J



0, t

写作四维形式时x4ict,J4ic(x1,x2,x3,J1,J2J3照旧), 则有

Ju

0 ① xu

若把四维电流密度中J4写为ic2,则①式不成立, 违反了电荷守恒定律,其次也违反了量纲:JvJ4不可写作ic2。 19、

在求多普勒效应公式

0

v1cosc

时,若先写出波矢量的逆变换式

v

k1k1'2',k2k2',k3k3','vk1'

c

和k1

c

cos, k

'1

'

c

cos,能否求得此式?

解:将'vk1'中k1'代为k1'

'

c

cos'则

'v

'

vcos''1cos' cc

对该式求逆运算,在系下k'与x轴夹角为','系相对于速度为,则在'系

下k与x轴夹角为,系相对'系速度为v.

0v

即得:'1cos,若'系中, '0,则

vc1cosc20、

在'参考系中有一个沿z轴方向放置的无限长螺线管,单位长度的匝数

参考系的观察者看到螺线管内外均有磁场和电场吗? 为n',每匝电流为I',

解:在'参考系下,无限长螺线管相当与无限长条形磁铁,螺线管外无电场,无磁场。E0,B0,其内部亦无电场,但有均匀磁场B'0n'I'Bz',当在系下观察时,设'沿的x轴正方向运动,根据电磁场的变换关系

ExEx

vBy)Ez(Ez

BxBx

v

Ez) 2cv

Bz(Bz2Ey)

c

Ey(EyvBz) By(By

(1) 管外: E0,B0,因此E0,B0 (2) 管内:

0,ExEx

vBy)0Ez(Ez

BxBx0,

v

Ez)0

c2v

Bz(Bz2Ey)0nI

c

Ey(EyvBz)v0nIBy(By

即在系下观察螺线管外无电场和磁场; 螺线管内存在电场和磁场 20. 用质量速度关系说明为什么有质量的物体的速度不能超过光速?

: m

,物体不断加速时,它的惯性质量也不断增大,当逼近光

速时,惯性质量将变成无穷大,要使速度接近光速所需的能量将是无穷大,即外力将难以再增加它的速度。这样把一个接近光速的物体加速成超光速的物体是不可能的。

21.静止质量为m0、速率为v的粒子的动能能否表示为

12

mv?其中2

m

.

答:不能.由于在经典力学中粒子静止v0,没有能量, 粒子运动时才具有能量

12

mv.而在相对论中,即便粒子静止也具有能量W0m0c2,称为静止能量,这在2

经典力学中不存在。

当v0时,物体具有的能量为Wmc2,WW0T,所以动能应为

TWW0

2m0c2mm0c2

与经典动能不同,但在vc ,

TWW0m0c2[(1v2c2)1] 借助二项式定理展开:

Tm0c[(1v

22

2

1

2

)

12

1]

1v23v4

m0c[24]

2c8c

2

13vm0v2m0v22

28c1

m0v22

22. 已知质量为m,动量为p的粒子衰变为两个粒子。其中一个粒子质量为m2,



动量为p2,p与p2的夹角已知,求另一粒子质量m1。 解:根据能量守恒定律: WW1W2

根据动量守恒定律:pp1p2,p12p2p222pp2,

W12W2W222WW2

W12W2W22WW

p12p2p222pp222

cccc

W2

由于p2m2c2为不变量,m1,m2,m3均为静止质量c

所以m12c2m2c2m22c22pp2cos

22m12m2m22

c

22 c

p2pcos注意:这里mm1m2,m〉m1m2,mm1m2m0 23.在什么条件下, WcP成立,其中P是动量. 答:

根据能量动量关系W

,显然, m00时, WcP,即此式对像

光子这类静止质量为零的粒子成立

.

W

W2W02p2c2 ,如果质点的能量远远大于其静止

能量, 即W

W0,能量动量关系可近似写为: WcP

第六章 狭义相对论 1、简述经典力学中的相对性原理和狭义相对论中的相对性原理。 答:经典力学中的相对性原理:力学的基本运动定律对所有惯性系成立。 狭义相对论中的相对性原理:包括电磁现象和其他物理现象在内,所有参照系都是等价的。不存在特殊的参照系. 2…

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