电动力学第一章 投稿:沈螼螽

第一章 电磁现象的普遍规律 §1 电荷和电场 一、 库仑定律 GQQ′GF=r 3 4πε0r z 描述两个点电荷的相互作用力…………(库仑力) z 库仑定律描述的两个点电荷之间的相互作用力不是通过超距作用的,一般在静电现象中(“静”指Q不随时间而变…

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第一章 电磁现象的普遍规律

§1 电荷和电场

一、 库仑定律

GQQ′GF=r 3

4πε0r

z 描述两个点电荷的相互作用力…………(库仑力)

z 库仑定律描述的两个点电荷之间的相互作用力不是通过超距作用的,一般在静电现象中(“静”指Q不随时间而变),难以判断是否是超距作用。历史上两种观点存在争论;当电荷随时间而变时,两种观点存在不同的结果。实验表明“场”的观点是正确的。即每个电荷在其周围激发电场,其他电荷放在这个电场中会以力的形式感受该电场的存在。

关于电场、电场强度

(板画)一个点电荷Q激发电场,现要描述在位置r处的电场。现置入一采用检验电荷

G

Q′,去检测电场强度,定义电场强度

GGFQGE≡=r 3

′Q4πε0r

电场强度是指单位电荷受到的作用力。

问题:何谓检验电荷(检验电荷意味着什么)?

讨论:

z 实际上并不存在严格的点电荷,一般带电体具有一定体积,电荷也存在一定分布((单个电子是否存在电荷分布没有科学定论),在置入Q′后,将导致原电荷分布发生变化。故要求Q′足够小,使得这种变化可以忽略。

GGF

z 上式中,E≡可以用于一般的带电系统(单个点电荷、多个点电荷、宏观带电体),

Q′

,(考虑到带电系统总存在电它提供了一种从实验测量电场强度的方法(只要,Q′足够小)

GG

GGGFF

与E总存在差异,当Q'→0时,与E严格相同。但是,如果带电系统是荷分布,)Q′Q′

G

GGF

′严格的点电荷,对于有限大小的Q,与E严格相同(不需要当Q'→0)。

Q′

G采用E=

Q4πε0r3

G

r提供了从理论上计算电场强度的方法,在这个表达式中,无需置入

Q′,Q激发的电场并不发生改变,但他只能用于单个点电荷激发的电场。

问题:对于多个点电荷和宏观带电体激发的电场,从理论上应该如何计算?

z 多点电荷激发的电场 运用叠加原理

GE=

GQiri∑ 4πε0iri31G

z 宏观带电体激发的电场(电荷连续分布)

采用电荷密度ρ(r′)描述带电体电荷分布,它表示单位体积内包含的电量。

体积元dv→0,ρ(x')dv可视为点电荷,运用叠加原理有

G

GGGρ(r′)rdv

E=∫v4πεr3

二、 Gauss定理、电场的散度

考查一个点电荷Q激发的电场,

GE=

Q4πε0r3

Gr

作一包含该电荷的封闭曲面S,计算积分(电场通量)

G

GE⋅dS=S

S

Q4πε0r3QQ

GGr⋅dS

===

cosθ

dS2

4πε0rS4πε0Q

S

ε0

GGQ

讨论:1). E⋅dS=不仅对于单个点电荷成立,对于多个点电荷和连续分布的宏观带

S

ε0

电体也是成立的(可以证明),Q应该是封闭曲面(Gauss面)S包含的总的电荷。

GGQ

2). E⋅dS=称为Gauss定理(积分形式),它的成立与库仑定律的平方反比关

S

ε0

系密切相关;对于其他平方反比关系的物理量(如万有引力),也有类似的规律。

S

G

为了导出Gauss定理的微分形式,需要利用数学中的散度定理:对某一矢量A,有

GGGG

A⋅ds=∫∇⋅Adv(数学上要求在V中的空间各点,A是连续可微的;∇是一矢量微商

V

GG∂G∂G∂

+ey+ez,矢量A的散度为算子,在直角坐标系下有∇=ex

∂z∂x∂yGG∂∂∂

divA≡∇⋅A=Ax+Ay+Az(自行证明))。对于电场,任选一Gauss面,有

∂z∂y∂x

GGQ

E⋅dS= ⇒

S

ε0

V

Gρ(∇⋅E)dV=∫dV (ρ表示电荷分布密度)

V

ε0

⇒ ∫(∇⋅E−)dV=0

V

ε0

Gauss面S是任意选取的,所以V具有任意性且可以任意缩小,故

Gρ∇⋅E=

ε0

这就是Gauss定理的微分形式。

讨论: 1). 微分形式是关于空间点的关系式,是关于电场的局域(空间某点及其邻域)

关系式,表明空间某点电场的散度只与该点的电荷密度有关,要在某一空间区域使用Gauss

定理的微分形式,要求在该区域内空间各点,电场强度是连续可微的;而Gauss定理的积分形式是关于某一有限空间区域的关系式,它的使用,并不要求这一区域的电场在空间各点连续可微。

GG

2). ∇⋅E是E的散度,它表示空间某点是否“有源”。如果有源,作一包含电荷

的小体积元ΔV,一定有“净”电力线穿过(源为正电荷情形,源为负电荷情形)。 3). (实验表明)Gauss定理的微分形式不仅对于静电场成立,对于随时间变化的电磁场也是成立。这里我们可以看到,尽管Gauss定理是由库仑定律导出,但是库仑定律。其实,一并不能用于随时间变化的电场(如运动电荷、随时间变化的带电系统Q(t)情形)

般地讲,Gauss定理的积分形式也是不能用于随时间变化的电场的(思考:为什么对于库仑定理、Gauss定理积分形式不能用于随时间变化的电场? 注意电场的传播速度是有限的,存在推迟效应)

三、 静电场的旋度

在静电场存在的空间选取一闭合回路L,考查电场(对这一回路)的环量

GGQ⋅=Edl4πε0L

==QQ

GGr⋅dl3rL

rcosθdl

4πε0r3Ldr

2

4πε0rL1

(d4πε0LrQ

=−=0

GG

其中θ为r与dl的夹角。

GGGGGG

运用数学中的斯托克斯定理:对一矢量A有A⋅dl=∫∫(∇×A)⋅dS(S是以L为边界的

L

S

GGG

,对于电场E,任选一回路L有 曲面,要求A在面S上是连续可微的)

GGGG

E⋅dl=0 ⇒ ∫∫(∇×E)⋅dS=0

L

S

G

注意到S具有任意性且可以任意缩小,故

GG

divE=∇×E=0

GGG

讨论:1). 如果有一检验电荷q,则有qE⋅dl=0,电场力做功为0,静电场是保守力

L

场。

GG

2). 多点电荷的带电体系和连续分布的带电体,只要是静电场,E⋅dl=0和

L

G

∇×E=0均成立。

GGG

3). 微分形式∇×E=0是关于空间点的局域关系式,而一般地,E⋅dl=0是关于

L

有限空间的关系式。

G

。 4). 对于静电场,在空间各点∇×E=0表示电力线不能闭合(静电场是无旋场)

GGG

5). ∇×E=0和E⋅dl=0对于变化的电场是不成立的(后面要讲)。

L

Ex.

P10

小结:

1). 静电场的求解:

G

对于分离分布的多点电荷系统 E=

GQiri∑ 4πε0iri31

GGGρ(r′)rdv

对于电荷连续分布系统 E=∫

v4πεr3

以上是直接由电荷分布求解静。 另外,还可以采用Gauss定理 E⋅dS=

S

GG

Q

ε0

求解电场,此时一般需要带电系统具有

较高的对称性。 2). 静电场的性质:

Kρ⎧

∇⋅E=;⎪ε0⎪

⎨KKQ ⎪E⋅dS=;⎪ε0⎩S

G

⎧∇×E=0⎪KK⎨E⋅dl=0⎪⎩L

静电场是一矢量场,对于一个矢量场,其最基本的性质是矢量场的散度和旋度。静电场的

旋度在空间各点为零,表明静电场是一个保守力场(电场力做功与路径无关),描述静电场的电力线是不能闭合的(注意电力线是假想的,是描述电场的辅助手段)。

§2 电流和磁场

一、 电荷守恒定律

引言:前面我们研究了不随时间变化的带电系统,电荷是静止的,他们将激发电场,如果电荷运动,又将会怎样?

在电磁学中,我们知道可以用电流强度来描述电荷的运动(提问:电流强度的定义?板画:导体中的电流。)

电流强度——单位时间通过某一截面的电荷总量

I=lim

ΔQdQ

=

Δt→0Δtdt

采用物理量电流强度描述电流十分粗糙:

1、带电粒子的运动在空间各点可能存在一定的分布。导体中的稳恒电流是均匀分布的,但是如果电流随着时间变化,则可能不再是均匀分布,实验表明交频电流通过导体时存在趋肤效应;其实运动电荷系统是多样的,对于在真空中运动的大量带电粒子系统难以用电流强度进行描述(板画:作“定向”运动的带电粒子系统可以存在不均匀分布;作“宏观无规”运动的带电粒子系统难以用电流强度描述)

2、提问:电流强度是矢量还是标量?(根据如上定义的)电流强度没有方向(分析:也不可以为电流强度定义方向。板画:以导体中的电流为例,选一任意截面,过截面的带电粒子不具有单一运动方向(由于热运动),电流强度并未刻画电荷的运动方向),但是,带电粒子的运动却是有的。

为了解决这一问题,需引入电流密度(P11):方向为电流方向(正电荷运动方向),大小为单位时间垂直通过单位面积的电量。 电流密度与电流强度的关系:

KKKKdI=J⋅dS ⇒ I=∫J⋅dS

S

KG

讨论:1、J(r,t)是对空间点定义的(而

电流强度是对于一有限面定义的),他并不要求通过一有限面的带电粒子的速度(方向)一致(如有图)。

2、对于一种运动带电粒子形成的电

KK流J=ρv。

推导:如上图,设截面面积为ΔS,斜方体的长度为Δl=vΔt,所有粒子的速度G均为v,速度与截面法向的夹角为θ,则斜方体体积为 ΔV=ΔSΔlcosθ=vΔSΔtcosθ,设带电粒子的电荷密度为ρ,斜方体中含有电荷 ΔQ=ρΔV=ρvΔSΔtcosθ,在Δt时间内,ΔV中的电荷全部穿过ΔS,则电流强度 ΔI=

KK

dI=J⋅dS 可以改写为 dI=JdScosθ,所以J=ρv。考虑到方向,可以改写为矢量

形式。

ΔQ

= ρvΔScosθ。注意到 Δt

对于多种粒子形成的电流:J=

K

∑ρivi

i

S

K

KK

考查电荷系统存在的某一空间区域V,在单位时间里流出该区域总(正)电荷=J⋅dS,

而在单位时间里区域V中总的(正)电荷的减少=−

∂∂ρ(∫ρdV)=−∫dV,故

V∂tV∂t

KK∂ρ

J⋅dS=−S∫V∂tdV ⇒

KKKK∂ρ∂ρ∂ρdV+J⋅dS=dV+(∇⋅J)dV=(+∇⋅J)dV=0 ∫V∂tS∫V∂t∫∫V∂t

V

注意到区域V的任意性,且可以任意缩小,所以有

K∂ρ

+∇⋅J=0 ∂t

这是电荷守恒定律的微分形式,也称电流的连续性方程。(连续性的解释:散度与源的关系) 电荷守恒定律的积分形式为

KK∂ρJ⋅dS+S∫V∂tdV=0

z 电荷守恒(P12)是目前人们知道的自然界的精确规律之一。

z 关于微分形式和积分形式的区别

讨论:

1) 特殊情形一:(考查积分形式)当V为无穷大时(实际在物理上,仅需要足够大),在界

K

面上的J为零,所以有

V

∂ρ∂dV=0 ⇒ ρdV=0 ⇒ ∫V∂t∂t

V

ρdV=const.(不

随时间而变),这表示全空间总电荷守恒。

2) 特殊情形二:(考查微分形式)对于恒定电流(“恒定”与静电场的“静”在物理上都指

K

物理量不随时间而变)有,∇⋅J=0,这表示(描述电流的)电流线必定闭合,没有K

发源点和终止点(反之如果有发源点或终止点,在这些点处的∇⋅J≠0。

3) 电荷守恒定律表示(在考查区域)总的电荷守恒,它并不表示“电荷不能产生,也不能

消失”(例如用γ射线照射真空,可以产生正负电子对,而正负电子对也可以湮灭而放出γ光子);或者讲,没有分别关于正、负电荷的守恒定律。

二、 Biot-Savart定律

电流可以激发磁场,实验表明:对于电流分

KK

布为J(x)的稳恒电流系统,其激发的磁场满足

Biot-Savart定律(1820年)

KKμ

B(x)=0

KKKJ(x′)×r

dV′ 3∫rV

KKKKKK

μ0为真空磁导率,J(x′)(与时间无关)描述源点x′处的电流密度,r是场点x与源点x′

KGG

的距离,r=x−x',积分遍及电流分布区域(即V应包含所有电流)。

对于通电细导线(回路),(板画)设导线横截面为dSn,电流元的长度为dl,

KKKK

JdV′=JdSndl=JdSndl=Idl

Biot-Savart定律写为

KKμB(x)=0

KKIdl×r

。 3rL

三、 磁场的旋度和散度

安培环路定律:

L

KKKK

B⋅dl=μ0I (对于静电场有 E⋅dl=0)

L

由斯托克斯定理得其微分形式

KK∇×B=μ0J

说明,电流激发的磁场旋度(在电流存在的空间)不为零。

在电磁学中,已经知道,磁力线没有起点和终点,即描述磁场的磁力线一定是闭合曲线(对于任意的封闭曲面,如果有一条磁力线穿出,则必定有一条要穿入)。在数学上可以表为

KK

B⋅dS=0

S

其微分形式为

K

∇⋅B=0

K

散度为零表明磁感应强度B是无“源”场,即不存在磁荷(磁单极子)。

以上从电磁学有关结论得到了静磁场的散度和旋度,其实,他们都可以从Biot-Savart定律导出。我们

磁场旋度和散度公式的推导 相关数学知识补充: 1)∇算子在球坐标下的形式

注意到直角坐标下,在三个方向ex、ey和ez上的微小位移分别为∂x、∂y和∂z,∇算子表为

GGG

G∂G∂G∂∇=ex+ey+ez

∂x∂y∂z

在球坐标下, 在三个方向er、eϕ和eθ上的三个微小位移分别为

GGG

G

⎧er方向:dr⎪G

⎨eϕ方向 :rsinθdϕ ⎪G

⎩eθ方向 :rdθ

所以在球坐标下

G∂G∂G∂∇=er+eθ+eϕ

∂rr∂θrsinθ∂ϕ

(P345 I.37式)

根据坐标变换也可由直角坐标下的形式得到球坐标下的形式(推导较为复杂)。

G111K

=−er2=−3r rrr

KKKK

对于r=x−x′,只要微分算子∇是对x作用,以上公式也是成立的。

G

3) 对于矢量A有

2)∇

KKK2

∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇A (P343 I.25式)

K

∇⋅(∇×A)=0 (P343 I.15式),

(关于343页的矢量运算公式要熟记)

现由Biot-Savart推导磁感应强度的散度和旋度。

Kμ0B=

KKKJ(x′)×r

dV'3∫rV

μKK1=−0∫J(x′)×∇dV'

r4πV

μ01KK=∇×J(x′)dV'∫4πVr

KK

μJ(x′)dV'=0∇×∫

r4πV

(以上推导中注意A×B方向判定选择小角度)

KK

Gμ0

定义 A≡

KK

KKJ(x′)dV',则有 B=∇×A ∫rV

K

利用矢量公式可得磁感应强度的散度 ∇⋅B=0 Kμ0

z 要计算磁感应强度的旋度,先计算 ∇⋅A=

(数学技巧)由于r=

KK1′()Jx⋅∇dV' ∫rV

(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2

所以对x的微分运算与对x′的微分运算仅差一负号(例如

HHH

,有 式:∇⋅(ϕA)=∇ϕ⋅A+ϕ∇⋅A (P343,I.19式)

KμKK1

∇⋅A=−0∫J(x')⋅∇'dV'

r4πV

∂∂

,注意到矢量运算公=−)∂x∂x'

μ⎧⎡KK1⎤1K⎫

=−0∫⎨∇′⋅⎢J(x')⎥−∇′⋅J(x′)⎬dV'

4πV⎩r⎦r⎣⎭

K

在恒定电流的前提下:∇′⋅J(x′)=0,上式中被积函数第二项为零。 由(数学中的)高斯定理

S

KKK3

A⋅dS=∫∇⋅Adx,所以上式中被积函数第一项为

V

μ0μ0⎡KK1⎤G⎡KK1⎤−∇'⋅⎢J(x)⎥dV'=−J(x)⎥⋅dS ∫∫⎢4πV⎣4πS⎣r⎦r⎦

由于积分区域V应包括所有电流,没有电流流出表面,所以上式亦为零,故有

K

∇⋅A=0。

z 再计算

KKμ0μ0μ0KK1rK21K

∇A=J(x′)∇dV′=J(x′)∇⋅(∇)dV′=−J(x′)∇⋅3dV′ ∫∫∫4πV4πV4πVrrr

KrKK

当x≠x′(即r≠0)时,∇⋅3=0 (课外练习:直接计算该式)

r

K

当x=x′(即r=0)时,对于包含该点的无穷小体积V"(该体积的微小曲面记为S",

KKKK可以取J(x′)=J(x)

KGμrK

∇2A=−0J(x)∫∇⋅3dV′

4πrV

K

μ0Kr=J(x)∫∇′⋅3dV′ 4πrV"

KGμ0Kr

=J(x)3⋅dS4πS"r

KGμrKKKKKK2

(最初)在积分∇A=−0J(x)∫∇⋅3dV′中,x不变,变化的是x',注意:r=x−x′,

4πrV

KKK

要处理的是当x'变化到x点的情形,所以需要考虑的积分区域是以x点为中心的无穷小体

KK

积V",把该小积分区域取为x为球心的小球体,其表面(法线)方向与r的方向相反,

2

所以有

KKKμ0KdSμ0K∇A=−J(x)2=−J(x)dΩ=−μ0J(x)

4π4πrS''S"

2

KKKK2

又,∇×B=∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇A

故,磁感应强度的旋度为

KK∇×B=μJ

该结论仅适用于恒定电流情形。

Ex. P18

§3 Maxwell方程组

一、 电磁感应定律

引言:前面讨论了(不随时间变化的带电系统激发的)静电场和(稳恒电流激发的)静磁

场,研究了他们的两个最重要的基本性质——散度和旋度。

从电磁学中知道,如果把一个闭合线圈放在磁场中,当穿过线圈的磁场(磁通量)发生变化时,将在线圈中产生电流,这就是所谓的电磁感应现象(1831年法拉第首次发现)。电流的出现说明变化的磁场产生了电场。实验表明,电磁感应现象遵从

dKKε=−∫B⋅dS

dtS

ε是电动势。S是以回路L为边界的任意曲面。

电动势是非静电力对单位电荷所作的功,由功能原理,可得电动势在数值上等于回路中电场力对单位电荷作的功。所以

KKdKKε=E⋅dl=−∫B⋅dS

SdtS

运用数学中的斯托克斯定理,由于所选回路可以任意小,有

K

K∂B∇×E=−

∂t

二、 位移电流

注意到在上面的问题中,与电磁感应现象相关的磁场随时间变化,这与前面研究的静

KK

磁场有所不同,对于稳恒电流情形,其激发的磁场满足 ∇×B=μ0J,这个结论不能推广

到非稳恒电流情形,因为 ∇⋅(∇×B)=0而∇⋅J≠0。所以 ∇×B=后才可以用于更一般的情况。令

KKK

μ0J只有作了改进

K

KKK∇×B=μ0(J+JD)

GKK

引入JD目的是使∇⋅(J+JD)=0成立。

K∂ρKρ

,则有 注意到电荷守恒定律∇⋅J+=0 和 ∇⋅E=ε0∂t

KK

K∂ρKK∂E∂E∇⋅J+=∇⋅J+ε0∇⋅=∇⋅(J+ε0)=0

∂t∂t∂t

K

K∂EG所以 JD=ε0,JD称为位移电流。

∂t

K

KK∂E∇×B=μ0J+μ0ε0

∂t

三、 Maxwell方程组

总结以上结论,关于电场和磁场散度和旋度,有

KK⎧∂BE∇×=−⎪∂t⎪KKK∂E⎪

⎪∇×B=μ0J+μ0ε0

∂t ⎨

Kρ⎪

⎪∇⋅E=

ε0

⎪K⎪∇⋅B=0⎩

这就是(真空中的)Maxwell方程。

讨论:

z (实验表明)Maxwell方程不仅可以运用于静电场和静磁场,也可以用于随时间变化的

电场和磁场。

z 由Maxwell方程可知,变化的电场激发磁场,变化的磁场激发电场,电场、磁场可以

交替激发,形成电磁波,这是Maxwell方程最重要的理论预言。

KK∂B

z ∇×E=−说明,变化的磁场激发的电场与静电场不同,电力线可以闭合(可以是

∂t

K

有旋场),但是磁力线总是闭合的(因为∇⋅B=0)。

四、 Lorentz力公式

G

考虑以电荷系统,其在某点的电荷密度为ρ,电流密度为J,现考查以该点为中心的

一微小体积元dV,

该体积元中电荷受到电场力作用 F=QE=ρEdV

KKK

KKKKKK

电流(元)受到磁场力作用 dF=Idl×B 或 dF=J×BdV G

定义力密度f:单位体积所受力。则

KKKKf=ρE+J×B

KKKK

对单个带电荷q的粒子,设运动速度为v,所受Lorentz力为: F=qE+qv×B

Maxwell方程组与Lorentz力公式构成经典电动力学的基础,一般而言,其他关于电磁场的物理规律可由此导出(欧姆定律,电磁波的发射、吸收和传播,电磁场与物质的相互作用等)。

§4 介质的电磁性质

一、 关于介质的概念

两类介质:介质由分子(或原子)构成,可以分为有极和无极两类。 有极指正负电中心不重合;无极指正负电中心重合。

对于有极分子(或原子)构成的介质,在无外电﹑磁场时,在热平衡情况不出现宏观的电荷和分布。

在有外场时会出现极化。 两类极化:(有极分子)取向极化,(无极分子)位移极化。实际上,对于有极分子构成的介质,两种极化都有,在电场不是太强时,主要是取向极化。

二、 介质的极化

以无极分子构成的介质在外电场中的位移极化为例。 1、 在介质内部

取一小体积ΔV,定义(电)极化强度

KK∑pi

P=ΔV

上式中求和是对ΔV内所有电偶极矩pi求和。

G

K

对于位移极化:没有外电场时,由于没有电偶极矩,P为零。对于取向极化,无外场

时,虽然每个分子的电偶极矩不为零,但(由于热运动)他们取向是无规的,ΔV在物理上

K

应该包含足够多的分子,所以P也为零。

z 数学无穷小和物理无穷下的区别:(以极化强度为例),极化强度是定义为空间点的物理

量,用他描述介质的极化时,必须把离散分布的分子(或偶极矩)连续化,在连续化的

但是在物理上,不可以“真正”过程中,所选微小体积分子ΔV在数学上要趋于无穷小,

取无穷小(任何分子都是有一定大小的,“真正”无穷小的空间不能包含任何分子,也不能包含任何偶极矩),所以,在物理上还必须让ΔV内含有足够多的分子。这样的处理似乎不够严格,但是,实验表明(这是判断物理研究方法和结论的最终标准),这样的处理是有效的,能够正确描述介质的极化。其实在物理学中,作连续化处理常常都要牺牲数学上的严格性。

现对于介质极化作进一步分析。

G

在外场作用下介质极化,偶极矩的负电到正电中心的距离为l(方向从负电到正电),G

考虑一物理小体积dV,设长度为l,界面为dS(方向为表面法向且向外),则

GG

dV=l⋅dS

在外场作用下,dV内所有分子的正电部分穿出右表面。设介质的分子数密度为n,每个分子的正(负)电量为q,穿出dV右表面的(正)电荷为

GGGGGG

nqdV=nql⋅dS=np⋅dS=P⋅dS GGP⋅dS

S

穿出dV的所有表面的正电荷为

注意到定义面元方向为外法线方向,在左表面

S

GGGG

P⋅dS为负,有正电荷穿入,P⋅dS符合物理

要求。

事实上,上述对有限大小体积的积分可以分解为对许多微小体积积分,注意到对内表面的积分相互抵消,所以积分只需对表面进行。可以是针对一宏观。

由于极化,在区域V中将产生净余电荷

GG

QP=−∫P⋅dS

V

称为极化电荷。

定义极化电荷密度ρP,有

GG

QP=∫ρPdV=−∫P⋅dS

V

V

运用数学中的散度定理,可得微分形式:

ρp=−∇⋅P

K

讨论:1)对于均匀介质,在内部各点∇⋅P=0,所以内部没有极化电荷出现,极化电荷

只出现在介质表面;对于非均匀介质,其内部有极化电荷出现。

2)极化电荷是束缚电荷,不能自由移动。

2、 介质界面(表面) P26

考虑一个介质薄层(厚度不小于两种介质的l),dS的方向由1→2。在薄层的

K

KK

KK左侧面,有P1⋅dS的正电荷由介质进入薄

层;在薄层的右侧面,有P2⋅dS的正电荷由薄层进入介质。

KK

σP表示极化电荷面密度(单位面积的极化电荷),

KKKKKK

σPdS=−(P2−P1)⋅dS⇒σP=−n⋅(P2−P1)

3、 极化电荷对电场的影响

当在空间中存在极化的介质时,极化电荷也对电场有贡献,相应的Maxwell方程应改写为(ρf是自由电荷密度)

KKK

ε0∇⋅E=ρf+ρP ⇒ ∇⋅(ε0E+P)=ρf

引入电位移矢量是方便的(自由电荷易于控制和测量)

KKKK

D≡ε0E+P 所以 ∇⋅D=ρf

KKK

由上式可见,自由电荷决定的是D而不是E,E取决于ρf与ρP,是宏观总电场。

对于线性介质(铁电材料就不是线性介质),实验表明:

KK

P=χeε0E χe是介质的极化率。

KKD=εE

⇒介质电容率 ε=εrε0, 相对电容率 εr=1+χe。

三、 介质的磁化

(原子)核外电子的运动形成小的电流环,这些小电流环形(微小)环面积a(方成分子磁矩。如果环上电流强度为i,

KK

向规定为按电流的右手螺旋方向),分子磁矩为 m=ia

G

K定义磁化强度 M≡

∑m

ΔV

K

i

KK

mi分布无规则,故 M=0,

z 未磁化时,由于分子热运动,

z 有外磁场时,分子磁矩规则排列,这就是磁化的物理图

象。

考虑介质中一曲面S,被边界线L链环着的分子电流数目为na⋅dl

L

z 微小体积元ΔV中应包含足够多的分子磁矩,

K

K

穿过(穿出向外)曲面S的总(净余)磁化电流,

IM=L

KKKKKK

nia⋅dl=nm⋅dl=∫M⋅dl

L

L

K

(注意:L方向,S方向和IM方向)

设介质中的磁化电流密度为JM

IM=∫

S

KKKK

JM⋅dS=M⋅dl

L

运用数学中的斯托克斯定理,注意到回路L可以任意缩小,有

JM

K=∇×M

如果电场变化,极化强度要随时间变化,极化电荷运动形成极化电流,亦将影响磁场。 设微小体积元ΔV内,每个带电粒子的位置为xi,电荷为ei

K

K

P=

KpiΔV

=

K

exiiΔV

K

∂P∑eiviK==JP (极化电流密度) ∂tΔVKKK

总的磁场是Jf﹑JM﹑JP激发的结果。

相应Maxwell方程改写为:

K

KKKK∂E1

∇×B=Jf+JM+JP+ε0

∂tμ0

G

Jf是自由电子形成的电流(传导电流)。运用上述结论,有

K

KK∂D

∇×(−M)=Jf+

μ0∂t

K

KKB

引入磁场强度 H=−M

K

B

μ0

K

KK∂D

⇒∇×H=Jf+

∂t

实验表明对各向同性非铁磁物质

KK

M=χMH, χM是磁化率

KK

B=μH, 介质磁导率 μ=μrμ0, 相对磁导率 μr=1+χM

四、 介质中的Maxwell方程组

1.Maxwell方程

KK⎧∂B

⎪∇×E=−∂t................................................................................(1)⎪K

KK∂D⎪

HJ............................................................................(2)∇×=+⎨

t∂⎪K

D∇⋅=ρ.....................................................................................(3)⎪

K⎪

⎩∇⋅B=0......................................................................................(4)

讨论:

1) (1)式描述变化的磁场激发电场,相关实验规律是(法拉第)“电磁感应定律”;

(2)式描述的是电流和变化的电场激发磁场,相关实验规律是“Biot-Savart定律”; (3)式描述电荷激发电场,相关实验规律是“库仑定律”; (4)式描述磁场是无源场(磁单极子不存在),相关实验规律是“Biot-Savart定律”; 2) Maxwell方程也可运用于静电场或静磁场。磁场的散度和旋度方程都可从Biot-Savart

定律导出,独立的方程只有一个;对于静电场,独立方程有两个。在一般的情况下,上述四个方程是相互独立的(注意到位移电流的引入使得关于磁场的散度和旋度方程相互独立)。

2.辅助方程

1. 介质的电磁性质方程

KKKK

KK⎧D=ε0E+P=εE

⎧KK⎪⎪P=χeε0E⎧μ=1+χM

GK K ⎨rBB⎨K⎨ε1χ=+⎪e⎩r⎪H=μ−M=μ⎩M=χMH0⎩

KK

2. 欧姆定律(微分形式)J=σE,σ为电导率

3.非简单介质

z 各向异性(电)介质

Di=∑εijEj εij是张量。

j=1

3

z 强场下呈现非线形的特征。(P32 4.28式)

(磁滞回线) z 铁磁性物质B和H是非线性且是非单直的。

KK

§5 电磁场的边值关系

一、 Maxwell方程的积分形式

KK⎧∂BE∇×=−⎪∂t⎪KKK∂D⎪

HJ∇×=+ 对应积分形式为 ⎨

t∂⎪K

⎪∇⋅D=ρ

K⎪

⎩∇⋅B=0

如果把(电)介质放在电场中,介质将会极化,在分界面上出现极化电荷,极化电荷要激发电场,总的场强是他和原电场的叠加。显然,在分界面处,电场强度发生跃变。

同理对于磁介质,在外磁场下将磁化,在分界面处磁场将发生跃变。

dKK⎧KK

B⋅dS...............(1)⋅=−Edl∫⎪Sdt

KKdKK⎪HdlI⋅=+D⋅dS.........(2)⎪f∫S dt⎨

⎪KK

⎪SD⋅dS=Qf............................(3)⎪KK

B⋅dS=0...............................(4)⎪⎩S

讨论:微分形式只是对连续介质适用。对于非连续情形,如在边界面(介质与介质、介质

与真空等),物理量存在跃变,(微商运算不存在),微分形式不能使用。但是积分形式对非

连续情形也是适用的。

二、 法向分量的边值关系

对于极化电介质分界面,选择如右图所示的薄层(参考P34,图1-12),考查积分表达式(3)

KK

D⋅dS=Qf,

S

注意到薄层的选取无限接近分界面,薄层厚度趋于零(侧面对积分无贡献),底面ΔS是微小的,所以,

KKK

(D2−D1)⋅nΔS=σfΔS, KKK

⇒ n⋅(D2−D1)=σf

同理,在对于磁介质分界面,由积分表达式(4)

KKB⋅dS=0

S

KK

K

⇒ n⋅(B2−B1)=0

可见,对于电位移矢量,在分界面上,其法向分量是不连续的(有跃变);而磁感应强度法向分量不连续的。(提问:磁场强度的法向分量?电场强度的法向分量?)

三、 切向分量的边值关系

分界面处的(极化)电荷分布使电场法向分量发生跃变,类似地,分界面处的(磁化)电流分布使磁场切向分量发生跃变。以沿轴向均匀磁化的铁棒为例,在内部,分子电流相互抵消,而在表面出现(宏观)磁化电流。他也将激发磁场,从而使得分界面两侧的磁场附近发生跃变。

对于磁介质,设在分界面上存在传导(面)电流,其线电流密度(垂直于电流方向的单位长度上通过的电流强度)

为αf,在分界面附近选择一回路(如右图

K

K

所示;P36,图1-15),回路长度为Δl,方向与αf成右手螺旋(回路的选取使得αf与Δl

K

K

正交)。考查积分表达式(2),

KKdKK

H⋅dl=If+dt∫SD⋅dS

注意到回路的选取无限接近分界面,回路宽度趋于零

L

KKKKK

H⋅dl=(H2−H1)⋅Δl

K

(在介质1中,Δl与回路方向相反)。由于回路围成微小的面积趋于零,所以

KK

D∫⋅dS=0

S

GKGGKKKK

。 由于 If=(n×Δl)⋅αf=(αf×n)⋅Δl (运用了轮换关系,注意αf与Δl不一定垂直)

于是

GKKKKK

(H2−H1)⋅Δl=(αf×n)⋅Δl

KKKKKK

将(H2−H1) 分解为 (H2−H1)⊥(垂直于分界面)和(H2−

H1)//(在分界面内)的分

量,有

KKKKKKKKKKK

(H2−H1)⋅Δl=[(H2−H1)⊥+(H2−H1)//]⋅Δl=(H2−H1)//⋅Δl

所以

GKKKKK

(H2−H1)//⋅Δl=(αf×n)⋅Δl

KKKK

注意(H2−H1)//不一定沿Δl方向。由于Δl的任意性,有

KKKK(H2−H1)//=αf×n

计算

KKKKKKKK

n×(H2−H1)=n×[(H2−H1)⊥+(H2−H1)//]

KKK

=n×(H2−H1)//

KKKKK

(注意αf与n相互垂直)=n×(αf×n)..................

K=αf

同理,在对于电介质分界面,由积分表达式(1)可得

KKK

n×(E2−E1)=0

可见,电场强度切向分量连续,但面电流分布使磁场强度切向分量在界面两边存在跃变。(提问:电位移矢量切向分量?磁感应强度的切向分量?)

小结:

关于电场和磁场的边值关系为

KKK

⎧n×(E2−E1)=0

KK⎪KK×−=αnHH()f21⎪

K⎨KK

⎪n⋅(D2−D1)=σf

K⎪KK⋅−nBB(21)=0⎩

实际上可以把他看成Maxwell方程在边界面附近的形式。

Ex. (P38)

§6 电磁场的能量和能流

一、 场和电荷系统的能量守恒定律

在(变化的)外(电磁场)作用下,导体中带电粒子要运动,其能量应该是从电场中获得,所以电磁场存储有能量。

在一般情况下,电磁场的能量分布与空间位置有关。如电磁信号接收机离天线越远,信号越弱。(信号的强弱是电流的大小)

为了描述电磁场能量分布,引入能量密度ω(x,t):单位体积中电磁场的能量(P39)。 另一方面,一般情况下,由于电磁场随时间而变,能量可以在场内传播(电磁波运动)。

K

K

为了描述电磁场能量的传播,定义能流密度S:单位时间垂直流过单位横界面的能量,其

方向表示能量传输的方向。(P39)

K

考虑空间某区域V,其表面为S,区域内有电荷分布ρ和电流分布J。

1) 电磁场对电荷作用的Lorentz力密度f=ρE+ρv×B,所以电磁场对电荷做功的功率

KK

K

K

KKKK

密度为f⋅v,功率为∫f⋅vdV。

V

d

ωdV dt∫V

KK

3) 单位时间,经表面流入区域V中电磁场能量 −S⋅dσ

2) 单位时间,区域V中电磁场的能量增加 由能量守恒

KKKKd

−S⋅dσ=∫ωdV+∫f⋅vdV

VdtV

这是场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式。

其微分形式

KKK∂ω

∇⋅S+=−f⋅v

∂t

特殊情形:对全空间的能量守恒定律

KKd

f⋅vdV=−∫ωdV

dt∞

二、 电磁场能量密度和能流密度表示式

KKKKKKKKKKf⋅v=(ρE+ρv×B)⋅v=ρv⋅E=J⋅E K

KK∂D

由Maxwell方程,J=∇×H−

∂t

K

KKKKKK∂Df⋅v=J⋅E=E⋅(∇×H)−E⋅

∂t

GGGGGG

运用矢量运算公式(P343 I.21式):∇⋅(A×B)=(∇×A)⋅B−A⋅(∇×B),可得

GK

KKKKK∂DK∂Bf⋅v=−∇⋅(E×H)−E⋅−H⋅

∂t∂t

与能量守恒微分形式比较,可得

波印亭矢量 S=E×H

而关于电磁场能量密度

KKK

KK

KK∂ω∂D∂B=E⋅+H⋅ ∂t∂t∂t

z 在真空中,ω=

1KKKK112

(E⋅D+H⋅B)=(ε0E2+B)(P. 41)。

μ022

KKKK

z 在介质中:δω=E⋅δD+H⋅δB (该式的理解 P. 42)。

1KKKK1122

线性介质:ω=(E⋅D+H⋅B)=(εE+B)

μ22

三、 电路中电磁能量的传输

电路中,在负载及导线上消耗的能量是通过电磁场传输的。

z 导体中存在电流时,电子的漂移速度很小,相应动能很小,不足以供给负载上的能量消

耗(如电阻)。

z 电流在导线中强度不变,电子的动能不变。

z 在恒定电流和低频交流电情形(高频存在电磁波,场传递能量容易理解),能量亦是通

过场传递的。在传输过程中部分电磁能量从场中流入电阻,供给负载所消耗的能量。

Ex.(P. 43)

实际上是电磁场进入导体(能量进入),使电子运动,与核碰撞转化为热能。

第一章 电磁现象的普遍规律 §1 电荷和电场 一、 库仑定律 GQQ′GF=r 3 4πε0r z 描述两个点电荷的相互作用力…………(库仑力) z 库仑定律描述的两个点电荷之间的相互作用力不是通过超距作用的,一般在静电现象中(“静”指Q不随时间而变…

第一章 电磁现象的普遍规律 §1 电荷和电场 一、 库仑定律 GQQ′GF=r 3 4πε0r z 描述两个点电荷的相互作用力…………(库仑力) z 库仑定律描述的两个点电荷之间的相互作用力不是通过超距作用的,一般在静电现象中(“静”指Q不随时间而变…

第一章 电磁现象的普遍规律 §1 电荷和电场 一、 库仑定律 GQQ′GF=r 3 4πε0r z 描述两个点电荷的相互作用力…………(库仑力) z 库仑定律描述的两个点电荷之间的相互作用力不是通过超距作用的,一般在静电现象中(“静”指Q不随时间而变…

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