4电动习题答案郭硕鸿第四章 投稿:贺锩锪

第四章 电磁波的传播 1.考虑两列振幅相同偏振方向相同,频率分别为 d 和 d 的线偏振平面波。它们都沿z轴方向 传播 (1) 求合成波,求证波的振幅不是常数,而是一个波。 (2) 求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。  (kd…

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第四章 电磁波的传播

1.考虑两列振幅相同偏振方向相同,频率分别为

d

和

d

的线偏振平面波。它们都沿z轴方向

传播

(1) 求合成波,求证波的振幅不是常数,而是一个波。 (2) 求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。



(kdk)zdt 解:(1) AAcos

1

1

2



AAcos(kdk)zdt

2

2Acosdkzdtcoskzt

所以振幅为2Acosdkzdt不是常数,而是一列



(kdk)zdtcos(kdk)zdtAAAcos

波。因为d和dk比起和k来都是很小的量,所以该振幅改变得很缓慢。 (2)相速度 t时刻

kztc

1

tt时刻.

kzzttc

1

kzzttkzt

kzt

群速度

zt

v

p

k

dkzdtc

1

dkzzdttc

1

dkzdtdkzzdtt

dkzdt

zt

v

g

ddk

2.以平面电磁波以450从真空入射到42的介质。电场强度垂直于入射面。求反射系数和折射系数。 解:由

解得

由菲涅耳公式:由定义:

sin2

sin

211

sinsin

2

2r1

1r

sin40

52sin

300

E1

sin2sinE

1sin

2sin

oo

o

o

E1cos

E

21cos2cos

21

3

R

EE

2

3333

2

1

122

T

EE

2

coscos

2

213222

2

213

232

3

3.有一可见平面波由水入射到空气,入射角为60o,证明这时将会发生全反射,并求折射

5

波沿表面传播的相速度和进入空气的深度.设该波在空气中的波长为o6.2810cm,水

的折射率为n1.33 解:

sinsin

cv水

所以

v水csin

o

csin60 

32c

k气

2

气

k水k气



水水气气

n水n气



1

n水2

气

n气

2

sin

n水

6.2810

1.3326.2810

3.59

55

5

2



2

sin

2

60

o

11.33

1.7810cm

4.频率为的电磁波在各向异性介质中传播时,若E,D,B,H仍按expikxt, E平行(即D=E不成立)

(1)证明kBkDBDBE0,但一般

kE0。

变

D

不再与

(2)证明D

1



2

k

2

EkEk

。

(3)证明能流S与波矢k一般不在同一方向上。 解: (1) 由

BBexpikxt,



B0

Bexpikxt

expikxtB

ikB0

expikxtB



kB0 由

D0,

f

DDexpikxt,



所以

Dexpikxt



expikxtDikD0



kD0

H

Dt

,

iD,

B

i

Dt

D



B

因为

BBexpikxt,



所以

D

i



i

Bexpikxt





ikB

-kB



DB0

E

Bt

iB,

B

i

E

k

E

BE0

Df

0 ,

0

EP0,

0

EP

又由

EE0

expikxt

0

ikEP

由于各向异性条件,kE0(2)由



B

D

t

E

Bt

由E,D,B,H按expikxt变

t

i,ik

所以有

1

ikBiD

ikEiB(1)(2)

将(2)代入(1)得

1

ikikEiD i

1



D

i1

iikkE

2

ikkE







2

1

2

kEkkE

2

1



2

k

EkEk



(3)



SEHE

1EB 00

B

因为 B所以

S

kE

1

E

kE

1



EkE

2

1



kEEkE

Ek0,S与k不共向.

5.有两个频率和振幅都相等的平面单色波沿轴传播,一个波沿方向偏振,另一个沿

方向偏振,但相位比前者超前

2

,求合成波的偏振.反之,一个圆偏振可以分解为怎样的两个

线偏振?

ExEyE0,合成波为圆偏振.

2

2

2

6.平面电磁波垂直射入到金属表面上,试证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热.

解:

EE0exp-zexpikzt , H

1

kE ,



SEH

S



EkE

1

*

ReEkE2

111



E022

E0

2

2

*

k

(1)

1

**1ReE

JReEE

22



1212

12

2

exp(2z)

2



2

1

2

exp(2z)dz

exp(

02

2z)dz

,

14



12

,

2

2

(2)

由(1)=(2), 所以透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热.

7.已知海水的11,1sm1,试计算频率ν为50,106和109Hz的三种电磁波在海水中的透入深度. 解:



1

2

,



2

502410

2

102410

2

102410

9

7

6

77

50

1

72m ,

r10

6

1

0.5m

r10

9

1

16mm

8.平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上,入射角为,求导电介质中电磁波的相速度和衰减长

1

度,若导电介质为金属,结果如何?

提示:导电介质中的电磁波波矢量ki,只有分量。 解:由边值关系

kxkxkx

(1)

kkk,kkk0

x

x

x

y

y

y

(2)

设入射角为θ,则有:

kksin

x

c

sin(3)

设折射波矢是

ki

(4)

x

x

x

2

c

x

sin

(3)两式有

kikki0

y

y

y

(5)

ki

z

z

z

可见,透射波矢k中只有分量,因此:

kkkkki2(6)

x

y

z

x

z

z

z

z

2

2

2

2

2

2

2

k

2

i(7)

2

2

于是,由⑥⑦两式得到关于和方程组

z

z

c

2

2

sin12

2

2z



2z



2

(8)



zz



2

2

2

2

z

11sinsin2cc2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2



1/2

2z

11

sinsin

2cc2

2

2

2

1/2



x

c

y

x

y

式得

sin,0,0

透入波的衰减长度为



1

1

,

z

透入波的相速度为

v

ph

Rek





2x



2z

若导电介质是金属,即有



1,

因而

zz

2

2z

x22

2

因此



1

z

ph

Rek



z

这说明对于良导体,电磁波倾斜入射与垂直入射所得的结果是相近的。

9.无限长的矩形波导管,在z=0处被一块垂直地插入的理想导体平板完全封闭,求在z=-∞到z=0这段管内可能存在的波模. 解:

EkE0 E0

i

BE

2



设E的径向分量为:

u(x,y,z,t)u(x,y,z)exp(it),

uku0

2

2

代入u分离变量得:

d

k0dxd

k0 dyd

k0dz

2

2

x

2

2

2

y

2

2

2

z

2

解得

u(x,y,z)

(CcoskxDsinkx)(CcoskyDsinky)(CcoskzDsinkz)

1

x

1

x

2

y

2

y

3

z

3

z

E

定解条件∶x0,a;EE0;0xE

y0,b;EE0;0 

y

E

z0,c;EE0;0

z

x

z

y

y

x

z

z

x

y

ExEE

x

x

x0,a

0D0,k

1

x

mab,

,

y0,b

0C0,k

2

y

3

n

xz0

0C0

ma

1

EAcos

x

xsin

nb

ysinkz,

z

同理由

EyEE

y

y

y0,b

0D0,C

2

2

nb,

,

x0,a

0C0,k

1

x

3

ma

z

z0

0C0

ma

2

EAsin

y

xcos

nb

ysinkz

z

EzEE

z

z

z0

0D0

3

x0,a

0C0,k

1

x

mana

,

z

y0,b

0C0,k

2

y

EAsin

z

3

ma

xsin

na

ycoskz

z

kkk

x

y

z

2

2

2

c

2

2

k

z

mn cab

22

22

E0,

Am

1

a

A

n

2

b

kA0

z

3

10.电磁波E(x,y,z,t)E(x,y)exp[ikzt]在波

z

导管中沿z方向传播,试使用EiH及

HiE证明电磁场所有分量都可用E(x,y)及

z

Hz

(x,y)这两个分量表示。

解:

Ex,y,z,tEx,yexpikz

zwt



Hx,y,z,tHx,yexpikz

zwt

Eiw0

H,

H

1iw

E

e

x

ey

e

z

H

1

iw0

x

y

zE

x

E

y

E

z

H

E

x

z

y

1

yzEiw0H

y

x

z

1

zExE

iw0

Hz

xEy

x

1

yE

iw

0

Hiw0

E,

(1)(2)(3)

e

x

e

y

e

z

E

1iw

xyzH

xH

yH

z

E

H

1

x

z

y



yzHiw0Ey



Hx

H

z

1

zxiw0

Ez

y

x

1



xHyH

iw

Ex,y,z,tEx,yexpikz

zwt



Hx,y,z,tHx,yexpikz

zwt代入①~⑥式中得:

(4)(5)(6)

7) (

Hx

iz

z

y

w0

yE1

wkE0

Hy

1wkz

Ex

i0

wEz



x

iHz

Ey

Ex



w0

xyEx

iHz

1

kz

Hy



w0

yw0

Ey

1kz

Hx

iHz



w0

w0

x

iEz

wxHy

yHx



8)(12),消去Hx

i

1wE1

z

kz

E

y

y

w

1w

k

z

E

y

i0

w0

x

H

z

E1y

k

2iiz

wxHz

w2

kz

yEz

w2

1

0

i

k

w2

w

xHz

k

z

yE2z

z

消去Ey

得:

(8)(9)(10)

(11)(12)(13)

由(

11w

k

z

1w

kH

z

x

i

wx

z

x

H

z

iwy

EH

H

x

11i

k

2

2z

iiwkxHwyE 

2

z

z

z

w

k

2z



EkHw

wyx

2

z

z

z

由(9)(11)解得:

i

11w

k

z

wy

y

H

z

1w

kH

z

y

H1

i

E

z

wx

H

y

1i

k

2

2z

ii

wkyHwxE

2

z

z

z

w

02z

wk

2



HwEkyx

z

z

z

i

11w

k

z

wx

x

wiEH

wy

E

z

1

kE

z

x

z

E

x

11ik

2

2z

ikiwyHwwxE

z

z

z

w

02



HkEwwkyx

2

z

z

z

z

11.写出矩形波导管内磁场H满足的方程及边界条件.

解: 由

又由

令k2w2得:

得:

H

Dt

H

t

D

D

Bt



2

H2

H

Ht

2H0

2

2

H

Ht

2

0

HHxexpiwt, 2

H

w

2

Hx0,

2

Hw2

Hx0,

2Hk2

Hx0

H0,nk0

x0,a处,HHyHz

x0,0,xx0H xy0,b处,H0,0,Hzy

yy0

12.论证矩形波导管内不存在TM

m,0

或TM

0,n

波.

解:矩形波导管内电磁波须满足以下方程:

EkE0



ˆE0 E0,n

2

2

ikzzit

电磁波沿z轴方向传播,它应有传播子e把电场E取为

Ex,y,zE

x,ye

ikzz

Ex

A1

coskx

xsinkyye

ikzz

,Ey

A2

sinkx

xcoskyeikzz,

y

EAsinkxsinkyeikzz

z

3

x

y

.

kmnx

a

,ky

b

,m,n0,1,2.

对解还必需加上条件·E=0

kx

A1

ky

A2

ikz

A3

0 (1)

当模为(m,0)时

ky

0

则电场的解为:

Ex0

Ey

A2

sinkx

xcosky

yexp(ikz

z)

Ez

0当模为(0,n)时,

kx

0

(2)

则电场的解为:

EAsinkyexp(ikz)

E0 E0

x

1

y

z

yz

(3)

即在(m,0),(n,0)下,只有一组特解TE波。

e

x

e

y

e

z

由H

1

yE

y

zE

z

iwx

E

x

i

HEE

wxy

z

y

x

当模为(m,0)时,由(2)得:

H

z

iw

Akcoskxcoskyexp(ikz)

2

x

x

y

z

H0,即不可能是TM波。否则,由(1)式知,电

z

磁波无法存在。(另:若Hz=0,则A2 及Kx有一个为零,则由(2)式知该模电磁波无法存在。) 当模为(0,n)时

H

z

iw

Akcoskxcoskyexp(ikz)

1

y

x

y

z

H0,即不可能是TM波。否则,由(1)式知,电

z

磁波无法存在。(另:若H

z

=0

,则A1 及Ky有一个为

零,则由(3)式知该模电磁波无法存在。)

13.频率为30109Hz的微波,在0.7cm×0.4cm的矩形波导管内能以什么波摸传播?在0.7cm×0.6cm的矩形波导管内能以什么波摸传播?

解:频率为30109Hz的微波波长为的(m,n)型波截止角频率

w0,m,n

cv

1cm,宽为a,高为b的矩形波导内,能传播

00

mnab

22

mn

c

ab

22

相应的截止波长为

c,m,n

2c

c,m,n

2abmbna

2

2

2

2

以 a=0.7cm,b=0.4cm, 及 a=0.7cm,b=0.6cm,分别代入上式,可算出最初几个波形的截至波长,列如下表:

所以,对于30109Hz微波,0.7cm×0.4cm的矩形波导管只能传TE10波, 0.7cm×0.6cm的矩形波导管只能传TE10波及TE

01

波.

14.一对无限大的平行理想导体板,相距为b,电磁波沿平行于版面的正方向传播,设波在x方向是均匀的,求可能传播的波摸和每种波摸的截止频率. 解:

22EkE0

E0



设Ex,y,z,tEyexpikzwt代入分离变量得:

Eyy

222



kyEy-kEyexpikzwt

2

2

2

k2Eyexpikzwtz

Eyy

2

kyEy0

解得

ExC1coskyyD1sink EyC2coskyyD2sinkEzC3coskyyD3sink

y

y yy ;

;

yy

由边界条件:

Eyy

y0.b

0D0,ky

nb

.

n

EyA2cosyexpikzzwt;

b

当y=0,b时

Ex0C10,ky

nb

ExA1sinkyyexpikzzwt

nA1sinyexpikzzwt

b

Ez0C30,kzEz

nb

n

A3sinyexpikzzwt

b

其中

kxkykzw,

2

2222

,kz

n

w

b

2

2

由E0,A2

nb

iA3kz0,A2

nb

iA3kz,A1独立

2

.kz

2

wc

22

n

b

截止频率

wc

2

ncb

2

222

wc

ncb

15.证明整个谐振腔内的电场能量和磁场能量对时间的平均值总相等.

证明:

EAcoskxsinkysinkzexp-iwtx1xyz

EyA2sinkxxcoskyysinkzzexp-iwt EAcoskxsinkycoskzexp-iwt

3xyzz

i

HE

w

解得

iHx

w0

iHy

w0

iHz

w0

EyEz

yz

EzEx zxEyExxy

将E的方程代入得:

i

A3kyA2kzsinkxxcoskHx

w0

i

A1kzA3kxcoskxxsinkHy

w0

i

A2kxA1kycoskxxcoskHz

w0

电场能量密度对时间平均值为:

e

1T1T

y

ycoskycoskysink

z

zexp-iwtzexp-iwtzexp-iwt

 

yz

yz



T

wedt1

0ReEEdt4

T

0

4T

T

E

2

dt

A1coskxxsinkyysinkzz2

T

02

A2sinkxxcoskyysinkzzcos

4T0

2

A3coskxxsinkyycoskzz

2

wtdt

由

T

sin

2

wtdt

T2

代入得

2A1coskxsinkysinkzxyz

02

A2sinkxcosykysinkzxz8

2

xsinkycoszkzA3coskxy

We

wedv



0

8



L1

0L1



L2L3

0L3

AAA

1

coskxxsinksink

xcosk

y

ysinkysink

z

zdxdydz

2

0

8

0L1



L2

0L3

2xyz

zdxdydz

22

0

864

02



L2

3

coskxxsink

2

y

ycoskzzdxdydz

0A1

L1L2L3

0A2

64

2

L1L2L3

2

0A3

64

2

L1L2L3

0L1L2L3

64

A

21

A2A3

Wm



1T1T1T



T

0T

mdt1414

T

0T

0Re(H*H)dt0Hdt

2

2

4T

Hdt

12222

AkAksinkxcoskycoskz223y2zxyz

0

12222

022(A1kzA3kx)coskxxsinkyycoskzz4T0

12222(AkAk)coskxcoskysinkz2x1yxyz22

0

T

sinwtdt

2

代入

T

sinwtdt

2

T2

080

2

2

22A3kyA2kz2sin2kxxcoskyycoskzz

2222

(A1kzA3kx)coskxxsinkyycoskzz 2222(AkAk)coskxcoskysinkz2x1yxyz

Wm

w

m

dV

180

2

2

l1l2l3AkAk2sin2kxcos2kycos2kzdxdydz

3y2zxyz

000

l1l2l32222000(A1kzA3kx)coskxxsinkyycoskzzdxdydzl1l2l3

2222

(AkAk)coskxcoskysinkzzdxdydz2x1yxy000



l1l2l3640l1l2l3640

22

A

A

2

kyA2kz(A1kzA3kx)(A2kxA1ky)3

2

2

2

=

3

(k

2

k

2

z

)A2(k

22

k

2

y

)A

2

1

(k

2

k

2

x

)

2A3A2kykz2A1A3kzkx2A2A1kxky

=l1l2l3640

2

k(A

22

3

A

2

2

A

2

1

)(A

2

3

k

2

z

A

2

2

kyA1k

222

x

2A3A2kykz2A1A3kzkx2A2A1kxky

=l1l2l3640l1l2l3640

22

k

2

(A

2

3

A

2

2

A

2

1

)(A1kxA2kyA3kz)

2

=

wc

k(A

22

1

A

2

2

A

2

3

)

由 k得:

l1l2l3

2

w

22

640cl1l2l364c0

2

(A

2

1

A

2

2

A

2

3

)

=(A

2

1

A

2

2

A

2

3

)

0l1l264

(A

2

1

A

2

2

A

2

3

)

em

第四章 电磁波的传播 1.考虑两列振幅相同偏振方向相同,频率分别为 d 和 d 的线偏振平面波。它们都沿z轴方向 传播 (1) 求合成波,求证波的振幅不是常数,而是一个波。 (2) 求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。  (kd…

第四章 电磁波的传播 1.考虑两列振幅相同偏振方向相同,频率分别为 d 和 d 的线偏振平面波。它们都沿z轴方向 传播 (1) 求合成波,求证波的振幅不是常数,而是一个波。 (2) 求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。  (kd…

第四章 电磁波的传播 1.考虑两列振幅相同偏振方向相同,频率分别为 d 和 d 的线偏振平面波。它们都沿z轴方向 传播 (1) 求合成波,求证波的振幅不是常数,而是一个波。 (2) 求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。  (kd…

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