电动力学(第三版)郭硕鸿著第01章电磁现象的普遍规律 投稿:田橣橤

教师:欧阳世根 办公地点:理4栋-311室 email: physics_course@163.com (Password: course_physics) 参考书目: [1] 电动力学,郭硕鸿,高等教育出版社 [2] 电动力学,蔡圣善,朱耘,徐建军…

打,打个大西瓜—3年磨一剑,梦想比面包美好 发布: 2009-09-28 07:23:43 编辑: 叶子 来源: 火星时代 - 不知网友们看完上面的简历会不会被雷倒一片:名牌医科大学毕业转行来搞动画;正经的工作辞职不干一个人饿着肚子做短片,这人是不…

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教师:欧阳世根 办公地点:理4栋-311室 email: physics_course@163.com

(Password: course_physics) 参考书目: [1] 电动力学,郭硕鸿,高等教育出版社 [2] 电动力学,蔡圣善,朱耘,徐建军,高等教育出版社

第1章 电磁现象的普遍规律

§1.1,电荷和电场

1,库伦(Coulomb)定律:真空中静止的点电荷 Q作用于静止点电荷 Q′的作用力为: r 1 QQ′ r F= er 2 4πε 0 r r r r 其中er = 由Q指向Q′ r 1 ①平方反比率:现代实 验表明,如果库仑力正 比于 δ ,则 r δ = 2 + ( 2.7 ± 3.1) × 10 −16 Phys.Rev.L ett.,Vol .26, Page 721 平方反比率隐含着光子 静质量为零这样一个深 刻的物理意义。 ②两种观点。 观点一:超距作用 观点二:通过“场”传 递相互作用 r r r ′E ,其中 E = F =Q Q 4πε 0 r 2 r er 为电场强度

静电现象不能对上述两 种观点作出判断。

2, 线性叠加原理 : 若电荷 Q受到多个电荷的作用, 则 Q受到的总的 作用力为这些单独作用 力的矢量和 r r r 1 QQ i r Qi r F =∑ e ri = Q ∑ e = Q ∑ E i = QE 2 2 ri i 4πε 0 ri i 4πε 0 ri i r r r Qi r 其中 er E = ∑ Ei Ei = 4πε 0 ri2 i i 多个电荷所激发的电场 等于各个电荷所激发的 电场的矢量和。 对于连续分布于空间区 域 D的带电体在空间点 P所引起的电场强度为 r r ρ ( x′) r e dV ′ E = ∫∫∫ 2 r 4πε 0 r D r r r 1 x − x′ ′ ) r r 3 dx ′dy ′dz ′ = ∫∫∫ ρ(x 4πε 0 | x − x′ | D r 源点坐标: x ′ r 场点坐标: x r r r r = x − x′

ρ ( x ′ )为电荷的体密度

r

3, 高斯定理和电场的散度 ( a )单个点电荷 r 单个点电荷 Q引起的电场为 E = Q 4πε 0 r 2 r er = r Qr 。以点电荷为球心,以 R 为 4πε 0 r 3

半径做一个球面。由于 该电场与球面处处垂直 ,电场在上述球面的通 量为 r r r Q Q E ⋅ d s =| E | × 4πR 2 = × 4πR 2 = ∫∫ ε0 4πε 0 R 2 r Q r 另一方面,容易求出 ( r ≠ 0 )。 ∇⋅ 3 = 0 r 4πε 0 于是,由高斯积分变换 公式,对于任意形状的 闭曲面 Σ,我们有 r r ⎧Q / ε 0 ( Q在 Σ内) E ⋅ ds = ⎨ ∫∫ ( Q在 Σ 外) ⎩0 Σ ( b )多个点电荷

r r 若空间存在多个点电荷 ,那么由叠加原理,电 场为 E = ∑ E i , 于是 r r ∫∫ E ⋅ ds =

Σ

r r r r E i ⋅ ds = ∑ ∫∫ E i ⋅ ds ∫∫ ∑

Σ i i Σ

i

于是,由高斯积分变换 公式,对于任意形状的 闭曲面 Σ,我们有 r r ⎧Q / ε 0 ( Q为 Σ内的总电荷) E ⋅ ds = ⎨ ∫∫ ( Σ 内没有电荷) ⎩0 Σ

( c )电荷连续分布

r r 假设电荷连续分布,在 r 点处的电荷密度为 ρ ( r ),那么在区域 D内的总电荷为 r Q = ∫∫∫ ρ ( r )dv

D

类似于前面的分析,我 们有 r r ∫∫ E ⋅ ds = Q / ε 0 =

∂D

∫∫∫ ρ ( r ) / ε 0dv

D

r

另一方面,根据高斯公 式,我们有 r r r ∫∫ E ⋅ ds = ∫∫∫ ∇

⋅ Edv

∂D D

于是,有

r [∇ ⋅ E − ρ (rr ) / ε ]dv = 0 ∫∫∫

0 D

由 D的任意性,我们有

r r ∇ ⋅ E = ρ (r ) / ε 0

(1)

上式表面静电场的散度 与电荷密度成正比。

尽管(1)式是基于对 静电场的考察而获得的 ,但实践表明,(1) 式也适用于 变化的电场。

4, 静电场的旋度 r 单个点电荷 Q引起的电场为 E = 容易求出 Q 4πε 0 r 2 r er =

r Qr 4πε 0 r 3

r r Q r ∇×E = ∇× 3 = 0 r 4πε 0

由电场的叠加原理,对 于一般的电荷分布和静 电场,我们有 r ∇×E = 0 ( 2) 根据斯托克斯公式,对 于一般的环路 C,总有 r r r r ∫ E ⋅ dl = ∫∫ ∇ × E ⋅ ds = 0

C S

上式表明静电场是无旋 场。

(2)式是基于对静电 场的考察而得出的。实 践表明,对于变化的电 场, (2)式不再适用。

例题 :电荷 Q 均匀分布于半径为 a 的球体内,求空 间各点的电场强度,并 由此计算电场的散度。 解:考虑半径为 r的与电荷球同心的球面 S 。由于对称 性,在球面 S 上各点的电场必具有相 同强度,并且沿 径向,即 r r E = E ( r )e r 由高斯定理,得 r r ⎧ E ⋅ e r d s = E ( r )4πr 2 = Q / ε 0 r≥a ⎪ ∫∫ S ⎪ 4πr 3 4πr 3 Q r3 Q ⎨ r r 2 r≤a ∫∫ E ⋅ e r ds = E ( r )4πr = 3 ρ / ε 0 = 3 4πa 3 = a 3 ε 0 ⎪ ⎪S ε0 3 ⎩ 于是,有 r r r r Q r Qr Q r ⎧ ∇⋅E = ∇⋅ 3 = 0 r≥a ⎪ E = 4πr 2ε e r = 4πε r 3 4πε 0 r ⎪ 0 0 ⎨r r r r 3Q r3 Q 1 r Qr Q ⎪E = ∇⋅E = ∇⋅r = er = r≤a ⎪ 4πε 0 a 3 4πε 0 a 3 4πε 0 a 3 a 3 ε 0 4πr 2 ⎩

§1.2,电流和磁场

1, 电荷守恒定律 r r 定义 :设空间点 r 处的电荷密度为 ρ ( r ),电荷以速度 r r υ ( r )运动,定义 电流密度 为 r r r r r J ( r ) = ρ ( r )υ ( r ) 那么,在时间间隔 dt,通过曲面 S的电量为 r r r r r r r dQ = ∫∫ ρ ( r )υ ( r )dt ⋅ ds = dt ∫∫ J ( r ) ⋅ ds

S S

于是通过曲面 S的电流强度为

dQ = I= dt

r r r J ( r ) ⋅ ds ∫∫

S

一般地,在时间间隔 dt,通过区域表面 ∂D流进区域 D的电量为 r r r dQ = − dt ∫∫ J ( r ) ⋅ ds

∂D

如果电荷不能凭空产生 和消失,流进去的电荷 必然等于区域 D内电量的变化,即 r r ∂ρ ( r ) dQ = d ∫∫∫ ρ ( r )dv = dt ∫∫∫ dv ∂t D D r r r r ∂ρ ( r ) 于是 dv = − ∫∫ J ( r ) ⋅ ds ∫∫∫ ∂t D ∂D 上式即为电荷守恒的积 分形式。

利用高斯公式,我们有 r r r r r r ∂ρ ( r ) ∫∫∫ ∂t dv = − ∫∫ J ( r ) ⋅ ds = − ∫∫∫ ∇ ⋅ J ( r )dv D D ∂D r r r ⎤ ⎡ ∂ρ ( r ) 即 ∫∫∫ ⎢ ∂t + ∇ ⋅ J ( r )⎥dv = 0 ⎦ D ⎣ 由于区域 D的任意性,我们有 r r r ∂ρ ( r ) + ∇ ⋅ J (r ) = 0 ∂t 上式为电荷守恒的微分 形式。 r ∂ρ 推论 :对于恒定电流,一切 物理量不随时间而变, 因此, = 0,从而, ∇ ⋅ J = 0 ∂t 2, 安培( Ampere )定律,

毕奥 − 萨伐尔( Biot − Savart )定律 一方面,电流受到磁场 的作用力 r r r d F = Id l × B [ r r F = QE ] r r r ∫∫∫ ρ ( x′) r 3 dv ′ D′

另一方面,恒定电流会 激发静磁场 r r r r r r r 1 J ( x′) × r µ0 ′ dv [ E( x) = B( x ) = 4π ∫∫∫ 4πε 0 r3 D′ r r r r r 其中 x为场点, x ′为源点, r = x − x ′, D′为电流分布区域。

]

r r r 引理 :设 r = x − x ′, r = ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + ( z − z ′ ) 2 , r ∂ r ∂ r ∂ r ∂ r ∂ r ∂ ∇ = ex + ey + ez ,∇ ′ = e x + ey + ez ,则 ′ ′ ′ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z r r r r r r r 1 1 ∇ = −∇ ′ = − 3 ∇ ⋅ 3 = −∇ ′ ⋅ 3 = 4πδ 3 ( r ) r r r r r [ ∂ ∂ u( x − x ′ ) = − u( x − x ′ )] ′ ∂x ∂x

r r ⎧∇ ⋅ B = 0 ⎧∇ ⋅ E = ρ / ε 0 ⎪ ⎪ 定理 :对于静磁场,有 ⎨ [ ⎨ ] r r r ⎪∇ × B = µ 0 J ⎪∇ × E = 0 ⎩ ⎩ r r r r r r r µ0 µ r 1 ′ ) × 3 dv ′ = − 0 ∫∫∫ J ( x ′ ) × ∇ dv ′ J(x 证明: B ( x ) = r r 4π ∫∫∫ 4π D′ D′ r r r r ⎛ 1⎞ r r ⎡ r r 1⎤ 1 ⎛ 1⎞ r r 另方面,由于 ∇ × J ( x ′ ) = 0,所以 ∇ × ⎢ J ( x ′ ) ⎥ = ∇ × J ( x ′ ) + ⎜ ∇ ⎟ × J ( x ′ ) = ⎜ ∇ ⎟ × J ( x ′ ) r⎦ r ⎝ r⎠ ⎣ ⎝ r⎠ r r r r µ µ µ 1 ⎡ r r 1⎤ ⎛ 1⎞ r r 于是 B ( x ) = − 0 ∫∫∫ J ( x ′ ) × ∇ dv ′ = 0 ∫∫∫ ⎜ ∇ ⎟ × J ( x ′ )dv ′ = 0 ∫∫∫ ∇ × ⎢ J ( x ′ ) ⎥ dv ′ r r⎦ 4π D′ 4π D′ ⎝ r ⎠ 4π D′ ⎣ r r 由于 ∇ 是对场点 x进行的微分,而积分是 对源点 x ′进行的,它们的顺序可 以交换 ( 例如: ∫ ∂ ∂ f ( x , y )dy = f ( x , y )dy ),于是 ∂x ∂x ∫ r r r µ0 µ ⎡ r r 1⎤ ⎡ r r 1⎤ ′ ) ⎥ dv ′ = 0 ∇ × ∫∫∫ ⎢ J ( x ′ ) ⎥ dv ′ = ∇ × A B( x ) = ∇ × ⎢J ( x r⎦ r⎦ 4π ∫∫∫ 4π ⎣ D′ D′ ⎣ r µ ⎡ r r 1⎤ 其中 A = 0 ∫∫∫ ⎢ J ( x ′ ) ⎥ dv ′ 4π D′ ⎣ r⎦

(1) ( 2)

r r 由于 B = ∇× A r r ∇ ⋅ B = ∇ ⋅ ( ∇ × A) = 0 因此 r r r r 2 ∇ × B = ∇ × ( ∇ × A) = ∇ ( ∇ ⋅ A) − ∇ A 首先 r µ0 µ ⎡ r r 1⎤ ∇⋅ A= ∇ ⋅ ∫∫∫ ⎢ J ( x ′ ) ⎥ dv ′ = 0 4π 4π r⎦ D′ ⎣ r r µ0 1 ′ ) ⋅ ∇ ′ dv ′ J(x =− 4π ∫∫∫ r D′

(1) ( 3) ( 4)

r r 1 J ( x ′ ) ⋅ ∇ dv ′ ∫∫∫ r D′

µ =− 0 4π µ0 4π µ =− 0 4π

=− =0

r r ⎫ ⎧ ⎡ r r 1⎤ 1 ∫∫∫ ⎨∇′ ⋅ ⎢ J ( x′) r ⎥ − r ∇′ ⋅ J ( x′)⎬dv′ ⎣ ⎦ ⎭ D′ ⎩ r r r r µ0 1 ⎡ r r 1⎤ 恒定电流 ∇ ′ ⋅ J ( x ′ ) = 0 ∫∫∫ ∇′ ⋅ ⎢ J ( x′) r ⎥dv′ + 4π ∫∫∫ r ∇′ ⋅ J ( x′)dv′ ⎣ ⎦ D′ D′ r r 1 r r r r J ( x ′ ) ⋅ ds 在表面 ∂D′,电流密度 J ( x ′ )处处与 ds 正交 ∫∫ r ∂D ′

其次 r µ0 2 µ ⎡ r r 1⎤ 2 ∇ A= ∇ ∫∫∫ ⎢ J ( x ′ ) ⎥ dv ′ = 0 4π 4

π r⎦ D′ ⎣ r r r µ0 ⎛ r ⎞ = ∫∫∫ J ( x ′ )∇ ⋅ ⎜ − r 3 ⎟dv ′ 4π D ′ ⎠ ⎝ r r r µ0 J ( x ′ )4πδ 3 ( r )dv ′ =− 4π ∫∫∫ D′ r r 3 r r = − µ 0 ∫∫∫ J ( x ′ )δ ( x − x ′ )dv ′ r r = − µ0 J ( x ) 综上 r

D′

r r 1 J ( x ′ )∇ 2 dv ′ ∫∫∫ r D′

r ⎧∇ ⋅ A = 0 r r ⎪ 2r ⎪ ⎨∇ A = − µ 0 J ( x ) r r r r r ⎪ 2 ⎪∇ × B = ∇ × (∇ × A ) = ∇ (∇ ⋅ A ) − ∇ A = µ 0 J ⎩ r r

尽管 ∇ ⋅ B = 0是基于对恒定电流的 考察而获得的,实践表 明,对于时变情况,

∇ ⋅ B = 0仍然适用;而 ∇ × B = μ 0 J 则需要作必要的推广以 适用于时变情况。 定理 : (安培环路定理 ) r r ∫ B ⋅ dl = r r r r ∫∫ ∇ × B ⋅ ds = µ 0 ∫∫ J ⋅ ds = µ 0 I

S S

r

∂S

例题 :电流 I 均匀分布于半径为 a 的无穷长直导线 内,求空间各点的磁场 强度,并由此计算磁场 的旋度。 解:由于系统具有关于 z轴的旋转不变性和沿 z轴的平移 不变性,因此在柱坐标 下,有 r | B ( ρ , φ , z ) |= B ( ρ ) r r r r r B ( x ) = B ρ ( ρ )e ρ + Bφ ( ρ )eφ + B z ( ρ )e z 因此,可设 r r Bφ ( ρ ) = B z ( ρ ) = 0, 因此,有 B = B ( ρ ) eφ 可以证明 由安培环路定理,得 r r ⎧ B ⋅ eφ d l = B ( ρ )2πρ = µ 0 I ⎪∫ ⎪C ⎨ r r I ρ2 ⎪ ∫ B ⋅ eφ d l = B ( ρ )2πρ = µ 0πρ 2 2 = µ 0 I 2 a πa ⎪C ⎩ 亦即 ⎧ r µ0 I r ρ≥a ⎪ B = 2πρ eφ ⎪ ⎨r µ0 I r ρ2 1 r ⎪B = µ I eφ = ρeφ ρ≤a 0 ⎪ a 2 2πρ 2πa 2 ⎩

ρ≥a ρ≤a

当ρ>a 时 r r ∂ r ∂ µ I r ∇ × B = (e ρ + eφ ) × ( 0 eφ ) ∂ρ ρ∂ φ 2πρ r ∂eφ µ I r r µ I r = − 0 2 e ρ × eφ + 0 2 eφ × ∂φ 2πρ 2πρ r µ I r r µ I r = − 0 2 e ρ × eφ + 0 2 eφ × ( − e ρ ) 2πρ 2πρ =0 当ρ

§1.3,电磁感应定律

r r r d ∂B r 法拉第定律 : U C = − ∫∫ B ⋅ ds = − ∫∫ ⋅ ds dt S ∂t S 其中 U C 为环路 C中的电势, S为环路 C围成的区域, r r ∫∫ B ⋅ ds 为磁通量。

S

由于

r r U C = ∫ E ⋅ dl =

C

r r (∇ × E ) ⋅ ds ∫∫

S

r r ∂B ⎤ r ⎡ 于是,有 ∫∫ ⎢∇ × E + ∂t ⎥ ⋅ ds = 0 ⎦ S ⎣ r r ∂B 由 S的任意性,有 =0 ∇× E + ∂t r r ∂B 即 ∇×E = − ∂t

尽管静电场是无旋场, 但变化的电场是有旋的 。

§1.4,麦克斯韦方程组

由法拉第定律,我们知 道,变化的磁场可激发 电场。反过来变化的电 场能否激发磁场?答案 是肯定的。 到目前为止,我们有下 面这些关系式 r ⎧∇ ⋅ E = ρ / ε 0 (1) ⎪ 静电荷 ⎨ r ⎪∇ × E = 0 ( 2) ⎩ r ⎧∇ ⋅ B = 0 ( 3) ⎪ 恒定电流 ⎨ r r ⎪∇ × B = µ 0 J ( 4)

⎩ r r ⎧ ∂B 变化磁场 ⎨∇ × E = − ( 5) ∂t ⎩ r ∂ρ 电荷守恒 ( 6) ∇⋅J + =0 ∂t r ①由于没有磁荷,因此 我们猜测 ( 3)式∇ ⋅ B = 0是普适的。 ② ( 3)式和 (5)式是相容的,只需要对 (5)式两边取散度即可 r r r ∂ ∂B 0 = ∇ ⋅ ∇ × E = −∇ ⋅ = − ∇⋅B = 0 ∂t ∂t r ∂B ③ ( 2)式是 (5)式在 = 0时的一个特例。以此我 们认为 (5)式是普适。 ∂t

r r r r r ④对 ( 4 )式 ∇ × B = µ 0 J 两边取散度,我们有 0 = ∇ ⋅ ∇ × B = µ 0 ∇ ⋅ J ,即 ∇ ⋅ J = 0, r ∂ρ 一般情况下与 ( 6 )式电荷守恒 ∇ ⋅ J + = 0 不相容。因此 ( 4 )式必须推广。 ∂t r r ⎛ ∂E ⎞ ∂ρ ⎟。 ⑤由 (1)式有 ρ = ε 0 ∇ ⋅ E ,两边对时间取偏导, 得 = ∇ ⋅⎜ε0 ⎜ ∂t ∂t ⎟ ⎝ ⎠ r r ∂ρ ⎛r ∂E ⎞ ⎟=0 = 0,得 ∇ ⋅ ⎜ J + ε 0 代入 ∇ ⋅ J + ⎜ ∂t ∂t ⎟ ⎝ ⎠ r r r r r ∂ρ ⎛ ∂E ⎞ ⎟,那么该式就与 ρ = ε 0 ∇ ⋅ E 以及 ∇ ⋅ J + = 0 相容, ⑥假如 ∇ × B = µ 0 ⎜ J + ε 0 ⎜ ⎟ ∂t ∂t ⎠ ⎝ r r r ∂E = 0时的特例而出现。 而且 ∇ × B = µ 0 J 将作为 ∂t r r ∂E 这里 J D = ε 0 称为麦克斯韦 位移电流 。 ∂t

综上,我们获得真空中 的麦克斯韦方程组 r ⎧∇ ⋅ E = ρ / ε 0 ( M1) r ⎪ r r ∂E ⎪ ∇ × B = µ 0 J + µ 0ε 0 (M 2) ⎪ ⎪ ∂t r ⎨ (M 3) ⎪∇ ⋅ B = 0 r ⎪ r ⎪∇ × E = − ∂B (M 4) ⎪ ∂t ⎩

§1.5,洛伦兹力

麦克斯韦方程组是描述 电荷和电流如何激发电 磁场,以及 电磁场内部运动的规律 。 洛伦兹力描述电磁场对 电荷的作用力。 r r 库仑力(静电力): F = QE r r r 安培力: dF = J × BdV 由力的叠加原理,处于 电磁场中的点电荷受到 的力(洛伦兹力)为 r r r r F = Q( E + υ × B ) r r r 其中 E, B为在实验室中,点电荷 所在位置处的电场和磁 场, υ 为点电荷 相对于实验室的速度。 对于电荷连续分布的情 况,洛伦兹力密度为 r r r r f = ρE + J × B

§1.6,介质中的麦克斯韦方程组

1, 介质的极化,极化电荷 ,极化电流 ⎧ 正负电荷的相对位移 介质的极化 ⎨ ⎩ 极性分子有序排列 r r 电偶极矩 : p = ql r 电极化强度 : P =

r pi ∑

i

∆V

模型 :假设在没有外电场的 时候,介质中分子的负 电荷中心与正电荷中心 重 合,介质中没有电偶极 矩。在外电场作用下, 分子的负电荷中心静止 不动, r 而正电荷中心位移了 l 。那么位于面元 ds 下,与面元 ds 的距离小于 l 的分子的 r r 正电荷就会穿过面元 ds,也就是位于面元 ds 下体积为 l ⋅ ds 的平行六面体内的 r 分子的正电荷会穿过面 元 ds。设单位体积内的分子 数为 n,则穿过面元 ds 的正 电荷为 r r r r r r q ( nl ⋅ ds ) = np ⋅ ds = P ⋅ ds

考虑空间区域 D ,它的边界为 ∂ D 。那么,由

于电极化, 穿过边界 ∂ D 的 正电荷为 Q=

∫∫

∂D

r r P ⋅ ds =

r ∫∫∫ ∇ ⋅ Pdv

D

由于极化前区域 D 内没有净电荷,根据电 荷守恒,极化后区域 D 内将出 现 极化电荷 QP = −Q 若记 极化电荷密度 为 ρ P,那么容易看出 r ρ P = −∇ ⋅ P 若外电场随时间变化, 那么极化过程中正负电 荷的相对位移也随时间 变 r 化,由此产生的电流称 为 极化电流 。若记 极化电流密度 为 J P,那么由电 荷守恒,有 r r r ∂ρ P ∂ ∂P ∇ ⋅ JP = − = ∇⋅P = ∇⋅ ∂t ∂t ∂t r r ∂P JP = ∂t

于是,有

2, 介质的磁化,磁化电流 ⎧电子的轨道运动 分子的磁偶极子 ⎨ ⎩电子的自旋 r r 磁偶极矩 : m = ia r ∑ mi r 磁化强度 : M = i ∆V 介质的磁化:在外磁场 的作用下,分子的磁偶 极子有序排列。 模型 :考虑介质中的一个曲 面 S,它的边界为 ∂S。由于磁化,在介质中 形成一个 r 磁化电流密度 J M 分布。通过曲面 S的 磁化电流 为 r r I M = ∫∫ J M ⋅ ds

S

另一方面,只有分子电 流被边界 ∂S链环着,这分子电流才 会对磁化电流 I M 有贡献。 假设分子电流沿着半径 为 b的圆周流动,即 a = πb 2,那么只有当分子中心 离边界 ∂S 的距离小于半径 b时,分子电流才会被边 界 ∂S链环着。也就是只有分 子中心位于体 r r 积 πb 2dl = adl = a ⋅ dl 内分子电流才对 I M 有贡献。设单位体积内 有 n个分子,则 r r r r r r r r I M = ∫ i ( na ⋅ dl ) = ∫ nm ⋅ dl = ∫ M ⋅ dl = ∫∫ ∇ × M ⋅ ds

∂S

经比较,得

r r JM = ∇ × M

∂S

∂S

S

3, 介质中的麦克斯韦方程 组 由前面的分析,我们有 r 极化电荷密度: ρ P = −∇ ⋅ P r r ∂P 极化电流密度: J P = ∂t r r 磁化电流密度: J M = ∇ × M

r 设空间中的 自由 电荷密度为 ρ, 自由 电流密度为 J。那么空间中 总的电荷密度为 r ρ total = ρ + ρ P = ρ − ∇ ⋅ P 总的电流密度为 r r r r r r ∂P r +∇× M J total = J + J P + J M = J + ∂t 于是麦克斯韦方程组为 r r ⎧∇ ⋅ E = ρ total / ε 0 = ( ρ − ∇ ⋅ P ) / ε 0 ⎪ r r r r r r⎞ ⎛ r ∂P ∂E ∂E ⎪ ⎪∇ × B = µ 0 J total + µ 0ε 0 ∂t = µ 0 ⎜ J + ∂t + ∇ × M ⎟ + µ 0ε 0 ∂t ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ r ⎪∇ ⋅ B = 0 r ⎪ r ⎪∇ × E = − ∂B ⎪ ∂t ⎩

( M1) (M 2) (M 3) (M 4)

r r ⎧∇ ⋅ E = ρ total / ε 0 = ( ρ − ∇ ⋅ P ) / ε 0 ⎪ r r r ⎛r ∂E ⎪ ∇ × B = µ 0 J total + µ 0ε 0 = µ0 ⎜ J + ⎪ ⎜ ∂t ⎪ ⎝ ⎨ r ⎪∇ ⋅ B = 0 r ⎪ r ∂B ⎪∇ × E = − ⎪ ∂t ⎩ 经整理,得 r r ⎧∇ ⋅ ε 0 E + P = ρ ⎪ r r⎞ r ∂ r r ⎛ B ⎪ ε0E + P ∇×⎜ −M⎟=J + ⎪ ⎟ ⎜µ ∂t ⎪ ⎠ ⎝ 0 ⎨ r ⎪∇ ⋅ B = 0 r ⎪ r ∂B ⎪∇ × E = − ⎪ ∂t ⎩

r r r⎞ ∂P ∂E + ∇ × M ⎟ + µ 0ε 0 ⎟ t ∂ ∂t ⎠

( M1

) (M 2) ( M 3) (M 4)

(

)

( M1)

(

)

( M 2) (M 3) ( M 4)

或者

r ⎧∇ ⋅ D = ρ r ⎪ r r ∂D ⎪∇ × H = J + ⎪ ⎪ ∂t r ⎨ ⎪∇ ⋅ B = 0 r ⎪ r ∂B ⎪∇ × E = − ⎪ ∂t ⎩

( M1) (M 2) 其中 ( M 3) (M 4) r r r ⎧D = ε0E + P r ⎪ r ⎨r B H= −M ⎪ µ0 ⎩

§1.7,介质的电磁性质

1, 弱场,线性响应 r r 对于弱电场 E和弱磁场 B,介质对外场的响应一 般是线性的,亦即 r r r r 当外电场 E → αE时,相应的电极化强度 P → αP,其中 α为一个比例 常数。于是 r t r P = ε 0 χ e⋅ E r t r M = χ m⋅ H ⇒ ⇒ t t r r r r t r D = ε 0 E + P = ε 0 (1 + χ e) ⋅ E = ε ⋅ E t t r r r r t r B = µ 0 ( M + H ) = µ 0 (1 + χ m ) ⋅ H = µ ⋅ H

2, 非线性响应 r r rr t r ( 3) P ( E ) = ε 0 χ e⋅ E + χ e : ( EE ) + L

[

]

§1.8,电磁场的边值关系

r r ⎧ D ⋅ ds = Qfree ⎪ ∫∫ r ∂D ⎪ r r ⎧∇ ⋅ D = ρ r r r ⎪ H ⋅ dl = I + d ⎪ free r r ∫∫ D ⋅ ds ⎪ ∂∫ ⎪∇ × H = J + ∂D dt S S ⎪ r r ⎪ ∂t r ⎪ ∫∫ B ⋅ ds = 0 ⎪ ⎪ ∂D ⎪∇ ⋅ B = 0 ⇔ 微分形式 ⎨ 积分形式 ⎨ r r r r r r ⎪∇ × E = − ∂B ⎪ E ⋅ dl = − d ∫∫ B ⋅ ds ⎪ ⎪ ∂∫ dt S ∂t S r ⎪ ⎪ r r ρ P = −∇ ⋅ P ⎪ ⎪ ∫∫ P ⋅ ds = − Q P r r ⎪J = ∇ × M ⎪ ∂D ⎩ M ⎪ r r ⎪ ∫ M ⋅ dl = I M ⎩ ∂S 在两介质的分界面上, 由于一般出现 面电荷 分布和 面电流 分布,使界面两边 的物理量发生跃变, 微分形式 的麦克斯韦方程组不再 适用,而 积分形式 的麦 克斯韦方程组可以应用 于任意不连续分布的电 荷电流所激发的场。

1, 法向分量的跃变 面电荷分布:电荷集中 分布在 界面的一个薄层内。 电荷面密度 : σ = lim ∆Q ∆s→ 0 ∆ s 模型 :考虑与界面垂直的一 个柱 a ,柱体高 h ,柱体内的自由电荷为 Q = σ ⋅ a, 柱体的表面为 Σ ,考虑下面的面积分 r r D ⋅ ds = Q = σ ⋅ a ∫∫

Σ

体,该柱体的底面积为

当柱高 h → 0时,对侧面的积分趋于 零,剩下上下底面的积 分 r r r r r r σ ⋅ a = lim ∫∫ D ⋅ d s = D 2 ⋅ n a + D1 ⋅ ( − n )a = ( D2 n − D1 n ) ⋅ a

h→ 0 Σ

于是,有 同理,由

D 2 n − D1 n = σ r r ∫∫ B ⋅ ds = 0,可得

Σ

⎛ 1→ 2 ⎞ ⎜ n ⎟ ⎠ ⎝ B 2 n = B1 n (2) ( 3)

(1 )

∫∫

Σ

r r P ⋅ ds = − Q P

P2 n − P1 n = −σ P

2,切向分量的跃变 面电流分布:电流集中 分布在界面的一个薄层 内。 r ∆I r eI 电流线密度 :α = lim ∆l → 0 ∆ l 模型: r r α ⋅ ∆l = lim ∫ H ⋅ dl

h→ 0

r r r r = H 2 ⋅ t ∆ l + H 1 ⋅ ( − t )∆l = ( H 2 t − H 1 t ) ⋅ ∆ l 于是,得 同理: r r d E ⋅ dl = − ∫ dt C r r ∫ M ⋅ dl = I m

C

C

H 2 t − H 1t = α

( 4)

r r ∫∫ B ⋅ ds

S

E 2 t = E1 t M 2 t − M 1t =α M

( 5) ( 6)

3, 界面处的麦克斯韦方程 组 综上

,在两介质的界面 处,我们有 ⎧ D2 n − D1n = σ ⎪ ⎪ H 2 t − H 1t = α ⎨ ⎪ B2 n = B1n ⎪ E 2 t = E1 t ⎩ 或者 r r r ⎧ n ⋅ ( D2 − D 1 ) = σ r r ⎪r r ⎪ n × ( H 2 − H 1) = α ⎨r r r ⎪ n ⋅ ( B2 − B 1 ) = 0 r ⎪r r ⎩ n × ( E 2 − E 1) = 0 ⎛ 1→ 2 ⎞ ⎜ n ⎟ ⎝ ⎠

⎧ P2 n − P1n = −σ P ⎪ ⎨ E 2 n − E1n = (σ + σ P ) / ε 0 ⎪ M − M =α M 1t ⎩ 2t

r r r ⎧ n ⋅ ( P2 − P 1) = −σ P r ⎪r r ⎪ ⎨ n ⋅ ( E 2 − E 1) = (σ + σ P ) / ε 0 r r r ⎪r n × ( M 2 − M 1) = α M ⎪ ⎩

例题 :无穷大平行板金属电 容器内有两层介质,极 板上面电荷密度 为 ± σ ,求电场和束缚电荷分 布。 r r ⎧ E1 = E 4 = 0 解:由对称性, D 和 E 必与极板垂直。在金属 内部没有电场,于是 ⎨ ⎩ D 1 = D4 = 0 ⎧ E 4 = 0 , D4 = 0 ⎧ D3 = σ ⎪ ⎪ ⎪ D 4 − D 3 = −σ ①⎨ ⇒ ⎨ E 3 = D3 / ε 2 = σ / ε 2 E 4 − E 3 = ( −σ + σ P34 ) / ε 0 ⎪ ⎪σ = σ − ε σ / ε = σ (1 − ε / ε ) 0 2 0 2 ⎩ P34 ⎪D = ε E 3 2 3 ⎩ ⎧ E 1 = 0 , D1 = 0 ⎪ ⎪ D 2 − D1 = σ ③⎨ ⎪ E 2 − E 1 = (σ + σ P12 ) / ε 0 ⎪D = ε E 1 2 ⎩ 2 ② E 3 − E 2 = σ P23 / ε 0 ⇒ ⎧ D2 = σ ⎪ ⎨ E 2 = D2 / ε 1 = σ / ε 1 ⎪σ = −σ + ε σ / ε = −σ (1 − ε / ε ) 0 1 0 1 ⎩ P12

σ P = σ (ε 0 / ε 2 − ε 0 / ε 1 )

23

r r ρ ( x′) r e r dV ′ E = ∫∫∫ 4πε 0 r 2 Ω r r r d F = Id l × B r r µ B( x ) = 0 4π

§1.9,本章小结

r r r J ( x′) × r ∫∫∫ r 3 dv′ D′ r µ A= 0 4π r r r ⎡ r r 1⎤ J ( x ′ ) ⎥ dv ′ B = ∇ × A ∇ ⋅ A = 0 ∫∫∫ ⎢ r⎦ D′ ⎣

真空中的麦克斯韦方程 组 r ⎧∇ ⋅ E = ρ / ε 0 (M1) r ⎪ r r ∂E ⎪ ( M 2) ∇ × B = µ 0 J + µ 0ε 0 ⎪ ⎪ ∂t r ⎨ ( M 3) ∇⋅B = 0 ⎪ r ⎪ r ⎪∇ × E = − ∂B ( M 4) ⎪ ∂t ⎩ 均匀介质中的麦克斯韦 方程组 r ⎧∇ ⋅ D = ρ r ⎪ r r ∂D ⎪∇ × H = J + ⎪ ⎪ ∂t r ⎨ ⎪∇ ⋅ B = 0 r ⎪ r ∂B ⎪∇ × E = − ⎪ ∂t ⎩ (M1) ( M 2) 其中 ( M 3) ( M 4) r ⎧ ρ P = −∇ ⋅ P ⎪ r ∂P ⎪r ⎪ J P = ∂t ⎪r r ⎪ JM = ∇ × M ⎨ r r ⎪r D = ε0E + P ⎪ r ⎪r B r ⎪H = −M ⎪ µ0 ⎩

线性各向同性均匀介质 的电磁性质(本构关系 ) r r ⎧D = ε E ⎪ r ⎨r ⎪B =µ H ⎩ 两介质界面处的麦克斯 韦方程组 ⎧ D2 n − D1n = σ ⎪ ⎪ H 2 t − H 1t = α ⎨ ⎪ B2 n = B1n ⎪ E 2 t = E1 t ⎩ 洛伦兹力 r r r r f = ρE + J × B ⎛ 1→ 2 ⎞ ⎜ n ⎟ ⎝ ⎠

⎧ P2 n − P1 n = −σ P ⎪ ⎨ E 2 n − E1n = (σ + σ P ) / ε 0 ⎪ M − M =α 1t M ⎩ 2t

r r r r F = Q( E + v × B )

教师:欧阳世根 办公地点:理4栋-311室 email: physics_course@163.com (Password: course_physics) 参考书目: [1] 电动力学,郭硕鸿,高等教育出版社 [2] 电动力学,蔡圣善,朱耘,徐建军…

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