电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用) 投稿:段蠿血

电动力学答案2. 设u是空间坐标x,y,z的函数,证明: 第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符的微分性与向量性,推导下列公式:(AB)B(A)(B)AA(B)(A)BA(A)122A(A)A f…

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电动力学答案

2. 设u是空间坐标x,y,z的函数,证明:

第一章 电磁现象的普遍规律

1. 根据算符的微分性与向量性,推导下列公式:

(AB)B(A)(B)AA(B)(A)BA(A)

12

2

A(A)A

f(u)

dfduu, A(u)u

dAdu

A(u)u

dAdu

证明:

3. 设r

222

(xx')(yy')(zz')为源点x'到场点x

4. 应用高斯定理证明dVf

V

的距离,r的方向规定为从源点指向场点。

(1)证明下列结果,并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系:

r'rr/r ; (1/r)'(1/r)r/r3 ;

(r/r)0;

(r/r)'(r/r)0 , (r0)。

3

3

3

(Stokes)定理证明dS

S

dSf

dl

SL

,应用斯托克斯

(2)求r ,r ,(a)r ,(ar) ,

[E0sin(kr)]及

[E0sin(kr)] ,其中a、k及E0均为常向量。

5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 p(t)

利用电荷守恒定律J



V

(x',t)x'dV',

0证明p的变化率为:

3

6. 若m是常向量,证明除R0点以外,向量A(mR)/R

的旋度等于标量mR/R3的梯度的负值,即A,其中R为坐标原点到场点的距离,方向由原

t

dpdt

V

J(x',t)dV

点指向场点。

7. 有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球,介质的电容率为

,使介质球内均匀带静止自由电荷 f,求:(1)空间各点 的电场;(2)极化体电荷和极化面电荷分布。

9.

8. 内外半径分别为r1和r2的无穷长中空导体圆柱,沿轴向流有

恒定均匀自由电流J f,导体的磁导率为,求磁感应强度和 磁化电流。

证明均匀介质内部的体极化电荷密度p总是等于体自由电

荷密度f的(10/)倍。

10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间

的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律) 11. 平行板电容器内有两层介质,它们的厚度分别为l1和l2,电

容率为1和2,今在两板接上电动势为E 的电池,求:(1)电容器两极板上的自由电荷面密度

f1

和

f3

f2

(2)介质分界面上的自由电荷面密度。(若介质是漏电

的,电导率分别为1和2的结果如何?) 当电流达到恒定时,上述两物体

12.证明:

(1)当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时,电场线的曲折满足

tan2

2

tan11其中1和2分别为两种介质的介电常数,1和2分别

为界面两侧电场线与法线的夹角。

(2)当两种导电介质内流有恒定电流时,分界面上电场线的曲折满足

tan2

2 tan11

其中1和2分别为两种介质的电导率。

13.试用边值关系证明:在绝缘介质与导体的分界面上,在静电情况下,导体外的电场线总是垂直于导体表面;在恒定电流情况下,导体内电场线总是平行于导体表面。

14.内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器,单位长度荷电为f,板间填充电导率为的非磁性物质。

(1)证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消,因此内部无磁场。

(2)求f随时间的衰减规律。

第二章 静电场

1. 一个半径为R的电介质球,极化强度为PKr/r2,电容率为。

(1)计算束缚电荷的体密度和面密度: (2)计算自由电荷体密度; (3)求与轴相距为r的地方的能量耗散功率密度。

(4)求长度l的一段介质总的能量耗散功率,并证明它等于这段的静电能减少率。

3)计算球外和球内的电势;

4)求该带电介质球产生的静电场总能量。 ((

2. 在均匀外电场中置入半径为R0的导体球,试用分离变量法求

下列两种情况的电势:(1)导体球上接有电池,使球与地保持电势差0;

(2)导体球上带总电荷Q 4.

3. 均匀介质球的中心置一点电荷Q f,球的电容率为,球外为

真空,试用分离变量法求空间电势,把结果与使用高斯定理 所得结果比较。 提示:空间各点的电势是点电荷Qf的电势Qf/4R与球面 上的极化电荷所产生的电势的迭加,后者满足拉普拉斯方程。

均匀介质球(电容率为1)的中心置一自由电偶极子pf,球

外充满了另一种介质(电容率为2),求空间各点的电势和极化电荷分布。

5. 空心导体球壳的内外半径为R1和R2,球中心置一偶极子p球壳上带电Q,求空间各点的电势和电荷分布。

6. 在均匀外电场E0中置入一带均匀自由电荷f的绝缘介质球

(电容率为),求空间各点的电势。

7. 在一很大的电解槽中充满电导率为2的液体,使其中流着均

匀的电流Jf0。今在液体中置入一个电导率为1的小球,求稳恒时电流分布和面电荷分布,讨论12及21两种情况的电流分布的特点。

8. 半径为R0的导体球外充满均匀绝缘介质,导体球接地,离

球心为a处(a >R0)置一点电荷Qf,试用分离变量法求空间各点电势,证明所得结果与电象法结果相同。 (RR0)

9.

接地的空心导体球的内外半径为R1和R2,在球内离球心为a处(a

'

10. 上题的导体球壳不接地,而是带总电荷Q0,或使具有确定电

势0,试求这两种情况的电势。又问0与Q0是何种关系时,两情况的解是相等的?

11. 在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部(如图),半球

的球心在导体平面上,点电荷Q位于系统的对称轴上,并与平面相距为b(b>a),试用电象法求空间电势。

 (

(0

12. 有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所 围成的直角空间内,它到两个平面的距离为a和b, 求空间

充满电导率为σ的液体。取该两平面为xz面和yz面在

(x,y,z)和(x,y,z)两点分别置正负电极并通以电流电势。

000000000I,求导电液体中的电势。

,z0)

Q(x0,

,z0)

Q(x00000 0

设有两平面围成的直角形无穷容器,其内

13.

14. 画出函数d(x)/dx的图,说明(p)(x)是一个位

15. 证明:(1)(ax)(x)/a (a0),(若a0,结果于原点的偶极子的电荷密度。

如何?)

(2)x(x)0

16. 一块极化介质的极化矢量为P(x'),根据偶极子静电势的公

式,极化介质所产生的静电势为

P(x')r3

dV',另外

V

40r

根据极化电荷公式p'P(x')及p

nP

,极化介

质所产生的电势又可表为

'P(x'),试证明以上两表达

V

4dV'

0r

P(x')dS'S

40r

式是等同的。

17. 证明下述结果,并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化。

(1)在面电荷两侧,电势法向微商有跃变,而电势是连续的。 (2)在面偶极层两侧,电势有跃变21nP/0,而电势的法向微商是连续的。

(各带等量正负面电荷密度±σ而靠的很近的两个面,形成面

偶极层,而偶极矩密度

Pliml)



l0

18. 一个半径为R0 的球面,在球坐标0/2的半球面上电

势为0在/2的半球面上电势为0,求空间各

点电势。

提示:Pn(x)dx

1

0,写出A的两种

Pn1(x)Pn1(x)

1

,Pn(1)1,

02n1

0,(nP0)

奇数)n(

n/2135(n

(1)1)

246n

,(n偶数)

n,电流

B。

3. 设有无限长的线电流I沿z轴流动,在z<0空间充满磁导率为

的均匀介质,z>0区域为真空,试用唯一性定理求磁感应

强度B,然后求出磁化电流分布。

4. 设x<0半空间充满磁导率为的均匀介质,x>0空间为真空,

今有线电流I沿z轴流动,求磁感应强度和磁化电流分布。

5. 某空间区域内有轴对称磁场。在柱坐标原点附近已知

22

其中B0为常量。试求该处的B。 BzB0C(z/2),

提示:用B0,并验证所得结果满足H0。

6. 两个半径为a的同轴圆形线圈,位于zL面上。每个线圈

上载有同方向的电流I。 (1)求轴线上的磁感应强度。

(2)求在中心区域产生最接近于均匀常常时的L和a的关系。 提示:用条件2Bz/z20

7. 半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流J均匀分布于截面

上,试解矢势A的微分方程。设导体的磁导率为0,导体外的磁导率为。

8. 假设存在磁单极子,其磁荷为Qm,它的磁场强度为

HQmr/40r。给出它的矢势的一个可能的表示式,并

3

讨论它的奇异性。

9. 将一磁导率为,半径为R0的球体,放入均匀磁场H0内,

求总磁感应强度B和诱导磁矩m。(对比P49静电场的例子。)

10. 有一个内外半径为R1和R2的空心球,位于均匀外磁场H0

内,球的磁导率为,求空腔内的场B,讨论0时的磁屏蔽作用。

11. 设理想铁磁体的磁化规律为BH0M0,其中M0是恒

定的与H无关的量。今将一个理想铁磁体做成的均匀磁化球(M0为常值)浸入磁导率为'的无限介质中,求磁感应强13. 有一个均匀带电的薄导体壳其半径为R0,总电荷为Q,今使

球壳绕自身某一直径以角速度转动,求球内外的磁场B。 提示:本题通过解A或m的方程都可以解决,也可以比较度和磁化电流分布。

12. 将上题的永磁球置入均匀外磁场H0中,结果如何?

本题与§5例2的电流分布得到结果。

14. 电荷按体均匀分布的刚性小球,其总电荷为Q,半径为R0,

它以角速度绕自身某一直径转动,求(1)它的磁矩;(2)它的磁矩与自转角动量之比(设质量M0是均匀分布的)。 第四章 电磁波的传播

1. 考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为d和

d的线偏振平面波,它们都沿z轴方向传播。 (1)求合成波,证明波的振幅不是常数,而是一个波。 (2)求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。

15. 有一块磁矩为m的小永磁体,位于一块磁导率非常大的实物

的平坦界面附近的真空中,求作用在小永磁体上的力F。

2. 一平面电磁波以45°从真空入射到2的介质,电场强

4. 频率为的电磁波在各向异性介质中传播时,若E,D,B,H

r度垂直于入射面,求反射系数和折射系数。

3. 有一可见平面光波由水入射到空气,入射角为60°,证明这时

将会发生全反射,并求折射波沿表面传播的相速度和透入空

气的深度。设该波在空气中的波长为28105

06.cm,

水的折射率为n=1.33。

仍按ei(kxt)变化,但D不再与E平行(即DE不成立)。 (1)证明kBkDBDBE0,但一般kE0。

(2)证明D[k2E(kE)k]/2。

(3)证明能流S与波矢k一般不在同一方向上。

5. 有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z轴传播,一个波沿

x方向偏振,另一个沿y方向偏振,但相位比前者超前2,求合成拨的偏振。反之,一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振?

6. 平面电磁波垂直射到金属表面上,试证明透入金属内部的电

磁波能量全部变为焦耳热。

7. 已知海水的r1,1S·m-1,试计算频率为50,106

和109Hz的三种电磁波在海水中的透入深度。

8. 平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上,入射角为1。求导电介质中电磁波的相速度和衰减长度。若导电介质为金属,结果如何?

提示:导电介质中的波矢量kβiα,α只有z分量。(为什么?)

9. 无限长的矩形波导管,在z=0处被一块垂直插入的理想导体

平板完全封闭,求在z到z=0这段管内可能存在的波模。

10. 电磁波E(x,y,z,t)E(x,y)ei(k

z

zt)

在波导管中沿z方向传

播,试使用Ei0H及Hi0E证明电磁场所有分量都可用Ex(x,y)及Hz(x,y)这两个分量表示。

11. 写出矩形波导管内磁场H满足的方程及边界条件。

12. 论证矩形波导管内不存在TMm0或TM0n波。

13. 频率为30109Hz的微波,在0.7cm0.4cm的矩形波导管

中能以什么波模传播?在0.7cm0.6cm的矩形波导管中能以什么波模传播?

14. 一对无限大的平行理想导体板,相距为b,电磁波沿平行于板

面的z方向传播,设波在x方向是均匀的,求可能传播的波模和每种波模的截止频率。

15. 证明整个谐振腔内的电场能量和磁场能量对时间的平均值总

相等。

电动力学答案2. 设u是空间坐标x,y,z的函数,证明: 第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符的微分性与向量性,推导下列公式:(AB)B(A)(B)AA(B)(A)BA(A)122A(A)A f…

电动力学答案2. 设u是空间坐标x,y,z的函数,证明: 第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符的微分性与向量性,推导下列公式:(AB)B(A)(B)AA(B)(A)BA(A)122A(A)A f…

电动力学答案2. 设u是空间坐标x,y,z的函数,证明: 第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符的微分性与向量性,推导下列公式:(AB)B(A)(B)AA(B)(A)BA(A)122A(A)A f…

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